- Théorème de Riemann-Roch
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En mathématiques, le théorème de Riemann-Roch est un résultat de géométrie algébrique. Originalement, il répond au problème de la recherche de l'existence de fonctions méromorphes sur une surface de Riemann S donnée, sous la contrainte de pôles de multiplicité imposée en certains points. Par exemple, sous sa forme faible, le théorème énonce que pour m points donnés, l'espace (vectoriel) des fonctions méromorphes sur S ayant au plus un pôle du premier ordre en ces points et holomorphes ailleurs est de dimension finie sur C plus grande que m − g + 1, où g est le genre de la surface.
Soit S une courbe algébrique projective non-singulière sur un corps k. Pour tout point (fermé)
et pour toute fonction rationnelle f sur S, notons vx(f) l'ordre de f en x: c'est l'ordre de zéro de f en x si elle est régulière et s'annule en x; il est nul si f est régulière et inversible en x; et c'est l'opposé de l'ordre de pôle de f si x est un pôle de f. SoitD = ∑ ai[xi] i un diviseur sur S et soit Δ un diviseur canonique (c'est-à-dire associé à une forme différentielle). Si l'on appelle l(D) la dimension du k-espace vectoriel formé des fonctions rationnelles sur S telles que
pour tout i, alors on a :Théorème de Riemann-Roch —l(D) − l(Δ − D) = deg(D) + 1 − g, où g est le genre de la courbe S, défini comme étant l(Δ). Ce théorème peut être interprété comme un calcul de caractéristique d'Euler-Poincaré pour cette situation[1]. Il en existe de nombreuses démonstrations et généralisations.
Notes
- Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]
Catégories :- Géométrie algébrique
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- Théorème de géométrie
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