Théorème de Peano

Théorème de Peano

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

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Enoncé

Soient E un Espace de Banach de dimension finie, H \subset E une partie ouverte convexe de E. Soit I = [t0 − a,t0 + a] un intervalle de \mathbb{R} (t_0\in \mathbb{R},a>0), soit f une fonction continue et bornée de I\times H dans E. Soit M= \sup_{(t,x)\in I\times H} \mid \mid f(t,x)\mid \mid.
Soient x_0\in H et r > 0 tels que B=B(x_0,r) \subset H.
Alors, il existe une solution au problème :
x' = f(t,x)
x(t0) = x0
définie sur l'intervalle [t0 − c,t0 + c] où c=\inf(a,\frac{r}{M}), et à valeurs dans B.

N.B. : Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici.

Exemples

Les exemples suivants donnés par Peano[1]

L'équation \frac{dx}{dt}=3x^{2/3} où le second membre est continu en x=0 sans être lipschitzien, admet les solutions x = t3 et x = 0 qui s'annulent toutes les deux en t = 0 ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle [0,a] et qui prennent la valeur (t − a)3 pour t > a.

L'équation \frac{dx}{dt}=\frac{4xt^3}{x^2+t^4} toujours avec la condition x(0)=0, admet les cinq solutions (C étant une constante arbitraire positive)

  1. x(t) = t2
  2. x(t) = − t2
  3. x(t) = 0
  4. x(t)=C-\sqrt{C^2+t^4}
  5. x(t)=\sqrt{C^2+t^4}-C

Références

  1. ↑ Peano,Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires,Mathematische annalen, T37,1890,p227
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