- Théorème de König-Huyghens
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En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.
Sommaire
Énoncé en probabilités
Le théorème de König-Huygens énonce de la façon suivante :
Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X, on a :
- .
DémonstrationLa démonstration est relativement simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :
- Le développement du binôme de Newton ;
- La linéarité de l'espérance en fonction de la variable aléatoire ;
- L'espérance d'une constante vaut cette constante.
Ces trois propriétés rappelées impliquent :
Énoncé en statistiques
Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique:
Théorème —
DémonstrationGénéralisation
Cette formulation est en fait un cas particulier d'une identité plus générale:
Identité —
DémonstrationNB: la démonstration est tirée de Mood et al. (2001, p. 229)
Remarque :En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut:
Et donc si
Relation avec la fonction de Leibniz
Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.
En effet, la moyenne m est le barycentre du système pondéré {(xi,ni)}i = 1...k. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système {(Ai,ai)i = 1...k} de barycentre G :
En remplaçant G par m, M par m', ai par ni et Ai par xi, on obtient
Ce qui est, à un facteur n près et à l'ordre près, la formule précédente.
Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)
Soit un système de k points matériels Ai, de masse respective mi, de masse totale M, de centre de masse G et un point A distant de d du point G. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne JA le moment d'inertie du système par rapport à A en fonction de JG le moment d'inertie du système par rapport à G :
avec
Référence
(en) Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, New Delhi, Tata McGraw-Hill, 2001 (ISBN 978-0-07-042864-5) (LCCN 73000292), p. 564
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