Théorème de Dirichlet (Séries de Fourier)

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Dirichlet.

En analyse, le théorème de Dirichlet (ou de Jordan-Dirichlet) est un résultat de convergence ponctuelle pour les séries de Fourier.

Une première version du théorème a été prouvée par Dirichlet en 1829^[1]. Faute d'une théorie de l'intégration adéquate, la preuve de Dirichlet ne permet de traiter que des fonctions assez particulières (monotones hors des points d'une subdivision).

Le théorème sera généralisé par Jordan en 1881 pour englober le cas de toutes les fonctions « localement à variation bornée »^[2].

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
3 Notes et références
4 Voir aussi
- 4.1 Bibliographie
- 4.2 Articles connexes

Énoncé

Soit ƒ une fonction localement intégrable sur $\mathbb{R}$ et de période 2π. Soit x₀∈ $\mathbb{R}$ . On suppose que

ƒ admet des limites à droite et à gauche en x₀, notées ƒ(x₀⁺) et ƒ(x₀^-) ;
il existe α > 0 tel que les intégrales suivantes convergent

$\int_0^\alpha \frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}{t} {\mathrm d} t, \qquad \int_0^\alpha \frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}{t} {\mathrm d} t$ .

Alors, la série de Fourier de ƒ converge au point x₀ et admet pour limite

$\lim\limits _n (S_nf(x_0))=\frac12(f(x_0^+)+f(x_0^-))$ .

Notamment le théorème s'applique lorsque la fonction admet des dérivées à droite et à gauche en x₀ (sans nécessairement être continue : il s'agit des dérivées à droite et à gauche des restrictions), ou encore lorsqu'elle est de classe $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux.

Démonstration

La démonstration du théorème se base sur le fait que la série de Fourier se calcule par produit de convolution avec un polynôme trigonométrique aux propriétés remarquables : le noyau de Dirichlet.

$D_n(x)=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)},$

$S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_n(x-t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)f(x-t) dt$

On utilise la seconde écriture du noyau de Dirichlet

$S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt$

Cette écriture est proche de l'application du théorème de Riemann-Lebesgue, mais la fonction $\frac{f(x-t)}{\sin(t/2)}$ n'est pas intégrable a priori au voisinage de 0. On forme donc (en utilisant le changement de variable t'=-t pour replier la moitié de l'intégrale sur [0,π])

$S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt -\frac12(f(x^+)+f(x^-))$

Puis en utilisant la valeur moyenne du noyau de Dirichlet D_n on rentre les constantes dans l'intégrale :

$S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x^+)-f(x^-)}{\sin\frac t 2} dt$

Cette fois le théorème s'applique. Donc l'expression a bien une limite nulle.

Notes et références

↑ Gustav Lejeune-Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169 http://arxiv.org/abs/0806.1294
↑ Camille Jordan, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230

Voir aussi

Bibliographie

Jean-Pierre Kahane et Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes [détail des éditions]

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