Théorème de Dandelin

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Les sphères de Dandelin

En mathématiques, le théorème de Dandelin, ou théorème de Dandelin-Quételet ou théorème belge sur la section conique, est un théorème portant sur les coniques.

Énoncé

Le théorème de Dandelin énonce que, si une ellipse ou une hyperbole est obtenue comme section conique d'un cône de révolution par un plan, alors :

• Il existe deux sphères à la fois tangentes au cône et au plan de la conique (de part et d'autre de ce plan pour l'ellipse et d'un même côté de ce plan pour l'hyperbole).
• Les points de tangence des deux sphères au plan sont les foyers de la conique.
• Les directrices de la conique sont les intersections du plan de la conique avec les plans contenant les cercles de tangences des sphères avec le cône.

Historique

Apollonius, déjà au III^e siècle av. J.-C., définit les coniques comme étant les formes obtenues en glissant un plan au travers d’un cône dans tous les angles possibles. On peut alors obtenir un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Il leur découvre également des propriétés focales et en définit l'excentricité, mais on a malheureusement perdu les traces de ses œuvres à ce sujet.

Alors que les propriétés des coniques semblaient bien connues, le mathématicien belge Germinal Pierre Dandelin découvrit en 1822 son théorème, qui donne une manière particulièrement élégante de relier la définition des coniques par foyer et directrice avec la définition par section conique.

Ellipse

L'ellipse est :

1. le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes est une constante strictement supérieure à la distance entre les deux points ;
2. le lieu des points du plan dont le rapport des distances à un point fixe et à une droite ne passant pas par le point est constant et inférieur à 1 ;
3. une des courbes obtenue par l'intersection d'un cône par un plan.

Soit P un point quelconque de la section conique. Soient également G₁ et G₂ les deux sphères qui sont tangentes au cône et au plan sécant. Leurs intersections avec le cône forment deux cercles nommés k₁ et k₂, et avec le plan deux points nommés F₁ et F₂. Les intersections de la génératrice du cône passant par P avec k₁ et k₂ sont nommées P₁ et P₂. Comme PP₁=PF₁ et PP₂=PF₂ (car deux tangentes à une même sphère se coupent en un point situé à distance égale des deux pieds des tangentes), PF₁ + PF₂ = P₁P₂. Or, la distance entre P₁ et P₂ est constante, quel que soit P. En d’autres termes, pour tout point P, PF₁+ PF₂ est constant ; et donc, la section conique comprenant P est une ellipse bifocale de foyers F₁ et F₂.

Établissons maintenant la dernière partie du théorème.

Pour ce, prenons l’intersection entre le plan de la section et celui du petit cercle k₁. Nous allons démontrer qu’il s’agit de la directrice. Projetons maintenant P sur le plan du petit cercle et nommons ce nouveau point P’. Projetons également P sur la supposée directrice et nommons ce point D. On constate alors que tous les triangles PP’P₁ sont semblables, quel que soit le point P. Ainsi, le rapport entre PP’ et PP₁(=PF₁) est toujours constant. On constate également que les triangles PP’D sont semblables, ce qui veut dire que le rapport entre PP’ et PD est une autre constante. Or nous voulons savoir si DP/PF₁ est une constante, ce qui est maintenant démontré. Les trois définitions de l’ellipse se rejoignent donc.

Hyperbole

Alors que, pour une ellipse, les deux sphères sont dans la même nappe du cône, dans le cas de l'hyperbole, les deux sphères sont dans les deux nappes opposées.

Parabole

Dans le cas d'une parabole, il n'existe qu'une seule sphère, tangente au plan de la parabole en son unique foyer. La directrice est l'intersection du plan de la parabole avec le plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône.

Anecdote

Dans le roman de Boileau-Narcejac, Le train bleu s'arrête treize fois, le héros, pris en otage, tente d'endormir son ravisseur par le murmure de ses paroles, citant entre autres le théorème de Dandelin.

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