Théorème de Catalan
- Théorème de Catalan
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Le théorème de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé par le mathématicien Eugène Charles Catalan.
Ce théorème s'énonce de la façon suivante :
- les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 23 et 32)
(une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme par exemple 64).
En d'autres termes, le théorème de Catalan énonce que la seule solution en nombres naturels de l'équation
- xa − yb = 1
pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.
Ce résultat fut démontré par Preda Mihăilescu en avril 2002. La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois.
La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai (de) en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.
Voir aussi
Liens externes
- (en) Yuri F. Bilu, Catalan's conjecture [after Mihailescu], Séminaire Bourbaki 2002-2003, no 909, [lire en ligne].
- Jacques Boéchat et Maurice Mischler, La conjecture de Catalan racontée à un ami qui a le temps, 2005. Texte en accès libre sur arXiv : math.NT/0502350..
- Vincent Brayer, Méthodes algébriques dans la conjecture de Catalan, École polytechnique fédérale de Lausanne, Département de mathématiques, Lausanne, févr. 2004, iv + 46 pp.
- Henri Cohen, Démonstration de la conjecture de Catalan, Laboratoire A2X, U.M.R. 5465 du C.N.R.S., Université de Bordeaux, 83 pp.
- (en) Tauno Metsänkylä (fi), Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved, Bull. AMS 41 (1) (2003), 43–57.
- (en) Page personnelle de Preda Mihăilescu à l'université de Paderborn.
- (en) Ivars Peterson's MathTrek, sur le site de la MAA.
- Gérard Villemin, Conjecture de Catalan.
Bibliographie
- (en) R. Schoof, Catalan's Conjecture, Springer-Verlag, 2008.
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2010.
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