Tapis de Sierpiński

Tapis de Sierpiński
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Tapis de Sierpiński

Le tapis de Sierpiński (1916), du nom de Wacław Sierpiński, est une fractale obtenue à partir d'un carré. Le tapis se fabrique en découpant le carré en neuf carrés égaux avec une grille de trois par trois, et en supprimant la pièce centrale, et en appliquant cette procédure indéfiniment aux huit carrés restants.

La dimension fractale ou dimension de Hausdorff du tapis est égale à \frac{\log 8}{\log 3} = 1{,}892789... , car à chaque étape on construit 8 répliques de la figure précédente, chacune étant sa réduction par 3.

La surface du tapis est zéro en mesure de Lebesgue : à l'infini, la surface du carré est intégralement « vidée » ; en d'autres termes, tout point se trouve supprimé au bout d'un nombre suffisant d'étapes.

C'est une généralisation de l'ensemble de Cantor en deux dimensions. Des généralisations en dimensions supérieures sont possibles, et des fractales peuvent être obtenues dans un cube (on l'appelle alors éponge de Menger ou éponge de Menger-Sierpiński) ou dans un (hyper-)cube en dimension supérieure N.

Tapis de Sierpiński:
Sierpinski carpet 0.svg Sierpinski carpet 1.svg Sierpinski carpet 2.svg Sierpinski carpet 3.svg Sierpinski carpet 4.svg Sierpinski carpet 5.svg
ordre 0 ordre 1 ordre 2 ordre 3 ordre 4 ordre 5

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