Système d'unités stellaires

Cet article est un exemple d'utilisation des SUN (Système d'unités naturelles ou Dahus) pour l'étude d'une étoile ordinaire de la séquence principale du diagramme H-R (Hertzsprung-Russell).

Il est issu de l'analyse de Weiskopff (CERN-1949, faire la physique simple).

• Une étoile sera considérée comme une boule homogène de rayon R, contenant N protons et N électrons, autogravitante, qui ne s'effondre pas car en son cœur se produit la fusion thermonucléaire de 4 protons en Helium(++): la température y est donc très élevée (de l'ordre de 10 millions de kelvins). Les photons qui sortent de cet immense four sont thermalisés et leur flux énergétique représente la luminosité L (en watts) de l'étoile.

Ce modèle extrêmement simpliste donnera néanmoins, à peu de frais, en utilisant les Dahus, les éléments essentiels de compréhension du fonctionnement d'une étoile ordinaire.

Sommaire 1 Relation du Viriel 2 Limite supérieure de N 3 Conséquence : Nombre de Photons 4 Luminosité de l'étoile 5 Température et Puissance thermonucléaire 5.1 équilibre et stabilité 6 Température de surface 7 Durée de vie 8 Chimie stellaire 9 Naine blanche 10 Autres objets 11 Conclusion 12 Voir aussi

Relation du Viriel

Pour tout système en équilibre mécanique (via la loi de Newton) et thermique (théorème de l'équipartition), l'énergie cinétique est l'opposée de l'énergie totale, elle-même égale à la moitié de l'énergie potentielle.

On peut donc écrire la relation du viriel :

3/2 N.kT (protons) +3/2 N.kT (électrons) = 1/2 (3/5 GM². N²/R)

avec M := masse du proton. Le premièr terme est extensif (~ N), le deuxième non (~N²). En divisant par N et en ne gardant que les OdG (Ordre de Grandeur), on obtient :

kT . R = GM². N

Limite supérieure de N

En fait il faut aussi tenir compte de l'énergie des photons qui peut être très grande : la théorie-Dahu du corps noir donne cette énergie par unité de volume :

E/V = d.u.[kT, c ]

le coefficient est

Cette énergie va déstabiliser l'étoile (on peut dire aussi que la pression de radiation va faire exploser l'étoile) si N est trop grand : il intervient alors dans ce calcul, un nombre caractéristique sans dimension qui est appelé nombre d'Avogadro stellaire :

Ce nombre vaut 2.2 10^57 et on pourra le comparer au rapport de la masse du soleil (2 10^30 kg) à celle d'un proton (5/3 10^(-27)kg). Il va jauger la masse de l'étoile, qui est un paramètre capital, mais dont on verra que 0.1 N* < N < 100 N* : ainsi, il apparaît la règle de Wheeler (cf article Système d'unités naturelles : en prenant le bon OdG, les résultats sont voisins de 1.

Conséquence : Nombre de Photons

Pour une étoile pas trop massive (ni trop dense comme il sera vu plus tard), on continuera à utiliser la relation du viriel kT.R = cste : cette relation exprime l'isentropie lumineuse, soit la conservation du nombre de photons : si l'étoile tend à perdre de sa température, elle gonfle et le nombre de photons reste constant :

Luminosité de l'étoile

Il ne s'agit que d'un calcul grossier. Il consiste à dire que les photons ne sortent de l'étoile qu'après une marche au hasard, en se cognant sur les électrons, via la section efficace de Thomson : cette section vaut S= 8Pi/3 .ro² avec e²/ro = mc² (et );le libre parcours moyen d'un photon est donc l = a.a²/S, avec a = distance moyenne des électrons (en gros (Volume/N)^(1/3) ). Le temps de sortie d'un photon est donc (selon la loi de la diffusion d'Einstein):

soit N.(ro²/R)/c : soit le résultat pseudo-paradoxal que le temps de sortie est d'autant plus grand que l'étoile est petite! (mais alors la concentration de centres diffuseurs est plus grande, ce qui résout ce pseudo-paradoxe).

On trouve alors un résultat extraordinaire :chaque photon emmène en moyenne une luminosité kT/t(sortie) = c. (kT.R)/Nro² soit c.GM²/ro² QUI EST UNE CONSTANTE FONDAMENTALE, ne dépendant pas de la masse de l'étoile : L = d.u.[GM²,c,ro]!

En multipliant par le nb de photons, on trouve la luminosité totale de l'étoile :

Application numérique: prenons ro = 1 fm, L ~ 50/9 10^(-28)W et

L(totale)= 10^30 W.(N/N*)^3

On retrouve l'OdG de la luminosité de l'étoile et surtout la dépendance-loi-puissance en (N/N*)^3 . Evidemment tout ceci dépend de ro², c’est-à-dire de la section de Thomson. Si l'on doit plutôt faire intervenir la section de Kramers qui dépend de la température, il faut modifier la théorie en conséquence.

Température et Puissance thermonucléaire

Le Dahu d'un réacteur nucléaire est assez difficile à calculer ; il exige de connaître l'effet tunnel quantique. En effet la réaction de fission ne peut se produire que si deux protons sont en contact, ie à une distance de femtomètre. La barrière d'énergie électrostatique à franchir est alors typiquement de Mc² = ~ 1 GeV . Cette température est très loin d'être atteinte dans le Soleil.

Effet tunnel : C'est parce que, comme Gamow l'a bien décrit, il suffit qu'une petite probabilité existe de passer cette barrière. La formule de Gamow-Wick-Corinne donne cette probabilité:

Ici n(E) est la fonction réciproque de E(n) donnant "les niveaux d'énergie de la barrière de Corinne renversée en puits" (cf effet tunnel) : or cela est bien connu pour un puits coulombien :

[donc n= sqrt(E(1)/E)]

est la formule des niveaux de l'hydrogène adaptée à ce problème proton-antiproton. Plus E est grand et plus la probabilité est grande, mais aussi d'après la loi de Boltzmann, moins il y a de couples ayant cette énergie cinétique relative.

En définitive, l'optimum se trouve extrêmement bien « piqué » en énergie : c'est le « pic de Gamow », donné par le maximum de -2Pi sqrt(E(1)/E) -E/kT (donc Pi.sqrt(E(1)/E) = E/kT, par le théorème de Didon) et la probabilité par exp- 3(Pi².E(1)/kT)^(1/3).

Il suffit alors de multiplier cette probabilité (qui joue le rôle de facteur d'Arrhénius moyenné) par la vitesse de réaction nucléaire proportionnelle à la densité de protons au carré * le deltaH de la réaction. On obtient ainsi la puissance P(T) du réacteur thermo-nucléaire de fusion.

équilibre et stabilité

• Évidemment, il y a équilibre quand P(T) = Luminosité (T).

Mais il a été vu que cette luminosité était indépendante de T (sous l'hypothèse de section efficace de Thomson). Donc la température est fixée par L, c’est-à-dire par la masse de l'étoile. Typiquement la température est de 1 keV. Un calcul aisé montre que, au voisinage de cette température, P(T) croît comme T^n avec n ~ 6,soit P(T) = L .(T/Te)^6 c-à-d que l'intersection P(T) = L a une température qui reste toujours voisine de 1keV;

• La stabilité de l'étoile est remarquable : si pour une raison quelconque le réacteur venait à s'emballer, il y aurait excès de puissance produite, et la TEMPERATURE DIMINUERAIT (en même temps que le rayon gonflerait (th du viriel)) et donc P(T) se calmerait : l'équilibre est stable par cet effet de "capacité calorifique négative".

Le rayon obtenu est pour N = N* environ R*= 1 Mkm, et R = R* (N/N*)

Température de surface

Oh Be A Fine Girl Kiss Me est la phrase classique qui permet de classer les étoiles depuis les chaudes vers les froides.

Dans le type de modèle qui vient d'être décrit, L ne dépend pas de T et T reste toujours voisin de 10 millions de kelvins. Donc la température de surface reste telle que :

4Pi.R².sigma.Ts^4 = L* (N/N*)^3 et comme R = R*.(N/N*), Ts = Ts* (N/N^(1/4) .

Donc L/L* = (Ts/Ts*)^12 : c'est la loi d'échelle de H-R.

Typiquement, on sait que pour le soleil, L = 4 10^26W avec Ts = 5680K et R= 700 000 km. MAIS, le soleil n'est pas une boule homogène !!!Et les facteurs de forme sont importants. Il faut remplacer N par un Nefficace = k(forme).N, où k(forme) est pris en compte pour ajuster cette théorie simpliste à la réalité : on peut écrire les équations de EMDEN et réappliquer la théorie des Dahus à ces équations : on obtiendrait alors la valeur du facteur de forme.

Durée de vie

Quand tout l'hydrogène se sera transformé en hélium, l'énergie fournie sera 7 MeV .N = Eo.N

Le temps de vie de l'étoile est donc:

T_vie = (E0/(L*/N*)). (N*/N)^2

Une étoile 10 fois plus massique que le Soleil passera 100 fois moins de temps que le Soleil sur la séquence principale, c'est-à-dire environ 100 My. Dans l'intervalle 0.1 à 100 N*, les échelles de temps vont varier de 1 My à 1000 Gy ! On voit donc que l'Univers est peuplé d'étoiles fossiles et d'étoiles de 2^e ou enième génération.

Chimie stellaire

Ce chapitre est beaucoup plus difficile à traiter par les Dahus car chaque élément a ses propriétés de chimie nucléaire (vitesse de réaction et deltaH). On ne peut que donner des idées d'OdG : l'Hélium fusionnera en Carbone, puis le carbone en Azote et Oxygène, etc. jusqu'au Fer.

Les températures sont plus élevées, donc ont lieu à l'intérieur de l'étoile qui possèdera alors une structure en oignon avec une distribution d'éléments lourds vers le centre.

Puis si l'étoile perd son énergie, on a vu que sa température allait diminuer et qu'elle gonflerait : c'est le stade géante rouge comme l'étoile Betelgeuse (fin de vie). Au-delà l'étoile souffle son enveloppe géante et le cœur s'effondre : c'est une nova, stade qui dure fort peu (quelques mois). Le cœur devient une naine blanche.

Naine blanche

Dans une naine blanche, l'étoile ne s'effondre pas car le gaz d'électrons devient quantique (non relativiste). Au lieu 3/2 kT par électron, il faut comme en théorie du solide prendre la formule donnant l'énergie des électrons distants de a : on sait que cette énergie est de l'ordre de d.u[] = .

En réécrivant le théorème du viriel, on aura cette fois

3/2kT + - GM² N/a = 0 en OdG

La kT-température ne saurait être supérieure à GM²N/2a avec a = d.u. [] =  : le volume V ~ Na³ varie comme 1/N² et la masse volumique en N^3 ! plus la naine est massique, plus elle est petite.

Autres objets

• pulsar == étoile à neutrons:

si la pression des électrons ne suffit pas, l'étoile s'effondre un « cran » plus bas en utilisant la pression quantique des neutrons, d'énergie 1836 fois plus petite. la réaction p + e ⟶ n + ν est endoénergétique et l'énergie est fournie par l'effondrement. Il se peut même que les neutrons deviennent relativistes, alors leur distance ne peut être inférieure à d.u.[h, M, c] ce qui donne une taille de l'étoile :

• trou noir : le rayon de Schwarschild R = 2GM²/c² donne la masse de Chandrasekhar, soit N = qq N*, à partir de laquelle l'étoile s'effondre "éternellement au sens relativiste" en un trou noir.

Conclusion

On voit que la notion de Dahus est un peu plus puissante que celle d'A.D. (analyse dimensionnelle), car elle permet de mettre en exergue des paramètres non dimensionnels caractéristiques ; ici le nombre d'Avogadro stellaire N* a joué un rôle important, sans lui donner une connotation « numérologique » quelconque.

Voir aussi

• Dahus et Système d'unités naturelles
• Cours Pequignot (Observatoire de Meudon).
• Cours Stephan Fauve (ENS-paris)sur les Dahus.

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