Spline cubique d'Hermite

Spline cubique d'Hermite

On appelle spline cubique d'Hermite une spline de degré 3, nommée ainsi en hommage à Charles Hermite, et dont chaque polynôme Pi(x) se trouve sous la forme suivante:

Les quatre polynômes de base
P_i \in Vect\{h_{00}, h_{10}, h_{01}, h_{11}\}\,

avec

h_{00}(t) = 2t^3-3t^2+1 \,\!
h_{10}(t) = t^3-2t^2+t \,\!
h_{01}(t) = -2t^3+3t^2 \,\!
h_{11}(t) = t^3-t^2 \,\!

ce qui donne le polynôme suivant :

\mathbf{p}(t) = h_{00}(t)\mathbf{p}_0 + h_{10}(t)\mathbf{m}_0 + h_{01}(t)\mathbf{p}_1 + h_{11}(t)\mathbf{m}_1.

Sous cette écriture, il est possible de voir que le polynôme p vérifie:

p(0)=\mathbf{p}_0 \,\!
p(1)=\mathbf{p}_1 \,\!
p'(0)=\mathbf{m}_0 \,\!
p'(1)=\mathbf{m}_1 \,\!

Les splines cubiques d'Hermite sont donc une manière commode de construire un polynôme de degré le plus bas possible interpolant une fonction en 2 points avec ses tangentes[réf. nécessaire].

La courbe est contrôlée par la position des points et des tangentes. La courbe passe par tous les points.

Conséquence : pour trouver le polynôme tel que : P(x_0)=p_0 \;,\; P(x_1)=p_1 \;,\; P'(x_0)=m_0 \;,\; P'(x_1)=m_1

il faut poser : \mathbf{p}(t) = h_{00}(t)\mathbf{p}_0 + h_{10}(t)\mathbf{m}_0 . (x_1-x_0) + h_{01}(t)\mathbf{p}_1 + h_{11}(t)\mathbf{m}_1 .(x_1-x_0).\!

et
\mathbf{P}(t)=\mathbf{p}(\frac{t-x_0}{x_1-x_0})
alors :
\mathbf{P}(x_0)=\mathbf{p}(\frac{x_0-x_0}{x_1-x_0})=\mathbf{p}(0)=p_0
\mathbf{P}(x_1)=\mathbf{p}(\frac{x_1-x_0}{x_1-x_0})=\mathbf{p}(1)=p_1

et  : \mathbf{P}'(x)=\mathbf{p}'(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}).\frac{1}{x_1-x_0}

d'où : \mathbf{P}'(x_0)=\mathbf{p}'(\frac{x_0-x_0}{x_1-x_0}).\frac{1}{x_1-x_0}=\mathbf{p}'(0).\frac{1}{x_1-x_0}=m_0.(x_1-x_0) .\frac{1}{x_1-x_0}=m_0
\mathbf{P}'(x_1)=\mathbf{p}'(\frac{x_1-x_0}{x_1-x_0}).\frac{1}{x_1-x_0}=\mathbf{p}'(1).\frac{1}{x_1-x_0}=m_1.(x_1-x_0) .\frac{1}{x_1-x_0}=m_1

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Spline cubique d'Hermite de Wikipédia en français (auteurs)

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