Sphere de Bloch

Sphere de Bloch

Sphère de Bloch

L'état d'un système à deux niveau, tel qu'un spin 1/2 ou plus généralement un qubit, peut être représenté par un point sur une sphère.

La sphère de Bloch, du nom du physicien et mathématicien Félix Bloch, est une représentation géométrique d'un état pur d'un système quantique à deux niveaux ; c'est donc, entre autres, une représentation d'un qubit. Il est possible de généraliser la construction de cette sphère un à un système à n niveaux.

La mécanique quantique se formalise dans les espaces de Hilbert, ou plus exactement, dans les espaces de Hilbert projectifs. L'espace projectif des états purs d'un système à 2 niveaux est isomorphe à une sphère.

La métrique naturelle de la sphère de Bloch est la métrique de Fubini-Study.

Le qubit

Considérons un état pur |\psi\rangle d'un système à deux niveaux. En toute généralité, on peut le décomposer sur les états propres de l'espace |0\rangle et |1\rangle par : |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle avec α2 + β2 = 1 et (\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2. De plus, puisque les facteurs de phase n'affectent pas l'état physique d'un système, nous pouvons sans perte de généralité supposer α réel positif, et réécrire |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^{i \phi} \sin \theta \,|1 \rangle avec 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.

Cette représentation décrit ψ sans ambiguïté, sauf dans les cas où il est dans un état propre. Les paramètres φ et θ spécifient de manière unique un point sur la sphère unité de \mathbb{R}^3 ayant pour coordonnées cartésiennes : \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta \end{matrix} Dans cette représentation, |0 \rangle \cong (0,0,1) et |1 \rangle \cong (0,0,-1)


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