Sous-variété lagrangienne
- Sous-variété lagrangienne
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Les sous-variétés lagrangiennes sont l'analogue en géométrie symplectique des sous-espaces lagrangiens en algèbre linéaire.
Sous-fibré lagrangien
Une forme symplectique ω sur un fibré vectoriel 
est une section en tout point non dégénérée du fibré 
. Un sous fibré vectoriel F de E est dit lagrangien lorsque les fibres Fx sont des sous-espaces vectoriels lagrangiens des fibres Ex, id est :
Exemple : Si 
est un fibré vectoriel réel, alors 
est naturellement muni d'une forme symplectique ω donnée par : 
. Le fibré E est un sous-fibré lagrangien.
Sous-variétés lagrangiennes
Si L est une sous-variété différentielle de M, le fibré tangent 
se restreint sur L en un fibré de rang n.
Une sous-variété L d'une variété symplectique (M,ω) est dite lagrangienne lorsque le fibré vectoriel TL est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique (TLM,ω).
Exemples :
- Toute courbe d'une surface munie d'une forme d'aire en est une sous-variété.
- Soit L une variété différentielle. Considérons la forme de Liouville λ sur T * L. Si σ est une forme différentielle sur L, son graphe
est une sous-variété lagrangienne de (T * L,dλ) ssi σ est exacte.
Théorème de Weinstein
Voir aussi
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2010.
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