Skolemisation

En logique mathématique, la skolémisation d'une formule du calcul des prédicats est une transformation de cette formule, qui, dans le cas d'une forme prénexe, consiste à éliminer toutes les occurrences de quantificateur existentiel en utilisant de nouveaux symboles de fonction (un par quantification existentielle), ce de façon à conserver la satisfaisabilité de la formule.

L'expression fait référence au logicien Thoralf Skolem et les fonctions introduites, que l'on peut voir comme des fonctions de choix, sont appelées fonctions de Skolem.^[1]

Intuitivement, si on a une formule du type on peut se dire que pour chaque x il existe (au moins) un y tel que P(x,y) est vrai, on peut donc supposer qu'il y a une fonction f(x) qui nous fournit un "bon" y pour chaque x. Ceci nous permet de réécrire la formule comme .

Il est plus simple de décrire la skolémisation pour une formule sous forme prénexe, c'est-à-dire avec tous les quantificateurs au début (en appliquant les équivalences connues on arrive toujours à le faire). Dans ce cas, chaque occurrence d'une variable y quantifiée existentiellement est remplacée par un terme où sont les variables quantifiées universellement dont le quantificateur apparaît avant celui de y. S'il n'y aucun quantificateur universel avant , f sera une fonction 0-aire, c-à-d une constante. Pour chaque variable à skolémiser il faut choisir un nouveau nom de fonction qui n'apparait pas déjà dans la formule.

La formule obtenue, qui est une formule prénexe n'ayant que des quantificateurs universelles en tête, est parfois dite sous forme normale de Skolem. Il n'y a pas unicité (même au noms des symboles de fonctions près, et à équivalence près de la partie propositionnelle) de la forme normale de Skolem d'une formule donnée.

Exemples

1. La formule n'est pas sous forme normale de Skolem car elle contient un quantificateur existentiel. La skolémisation remplace y par f(x), où f est une nouvelle fonction et supprime le quantificateur . La formule résultante est .
2. La formule peut être skolémisée en
3. La formule peut être skolémisée en (y dépend uniquement de x, u dépend de x et de z)
4. La formule deviendra , où c est une constante d'individu.

Propriétés

La version skolémisée d'une formule ne lui est pas équivalente (le langage étant étendu), néanmoins :

Tout modèle de la formule skolémisée est modèle de la formule initiale.

Tout modèle de la formule initiale peut être étendu en une sur-structure (par enrichissement du langage avec les symboles de fonction introduits) modèle de la formule skolémisée.

Utilisation

En raisonnement automatique et en programmation logique (p.ex. dans le langage Prolog) on utilise fréquemment le principe de résolution de Robinson. Or cette règle d'inférence ne s'applique que sur des formules dont les variables sont toutes quantifiées universellement (en fait sur des clauses). Il faut donc passer par une étape de skolémisation avant de pouvoir appliquer la résolution.

Annexes

Articles connexes

• Élimination des quantificateurs
• Théorème de Herbrand
• Calcul des prédicats
• Théorie des modèles
• Modèle

Bibliographie

• (en) Dirk van Dalen, Logic and Structure, Third edition, ed. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1994. Chapitre "3.4 Skolem Functions or How to Enrich Your Language", pp. 136-142 (de la 3e édition). ISBN 3-540-57839-0 et ISBN 0-387-57839-0.

Notes et références

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