Segment circulaire

Segment circulaire
Un segment circulaire est coloré en vert.

En géométrie, un segment circulaire est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du cercle par une corde (droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre la droite sécante et un arc.

Soient R le rayon du cercle, c la longueur de la corde, s la longueur de l'arc, h la hauteur du segment, d la hauteur de la portion triangulaire et θ l'angle en radians du secteur circulaire (voir figure).

Le rayon est R = h + d.

La longueur de l'arc est s = Rθ.

La longueur de la corde est c = 2R\sin\frac\theta2=R\sqrt{2-2\cos\theta}.

La hauteur est h=R(1-\cos\frac\theta2).

La superficie est A = \frac{R^2}{2}\left(\theta-\sin\theta\right).

Démonstration

La surface totale couverte par l'arc de cercle vaut A = \frac{\theta}{2} R^2

La surface totale, S, peut également s'exprimer comme la somme de deux surfaces, le segment circulaire (en vert) A et le triangle pour l'autre partie A1. On a donc A = S - A1. L'aire du triangle vaut A_1 = \frac{1}{2} \times base \times hauteur avec base = 2 R \sin{\frac{\theta}{2}} et hauteur = R \cos(\frac{\theta}{2})

On a donc A_1 = \frac{1}{2} 2 R \sin \frac{\theta}{2} R \cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} R^2 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} R^2 \sin{\theta} du fait des formules d'addition et de différence.

Au final, nous avons A = S - A_1 = \frac{\theta}{2} R^2 - \frac{1}{2} R^2 \sin{\theta} = \frac{R^2}{2}(\theta - \sin{\theta})


L'angle est \theta=2\arccos\frac dR.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Segment circulaire de Wikipédia en français (auteurs)

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