Racine carree entiere

Racine carree entiere

Racine carrée entière

En mathématiques et en théorie des nombres, la racine carrée entière (isqrt) d'un nombre entier positif n est l'entier positif m qui est le plus grand entier inférieur ou égal à la racine carrée de n,

\mbox{isqrt}( n ) = \lfloor \sqrt n \rfloor.

Sommaire

Algorithme

Pour calculer \sqrt{n}, et en particulier, isqrt(n), on peut utiliser la méthode de Newton pour l'équation x^2-n=0\,, qui nous donne la formule récursive

{x}_{k+1} = \frac{1}{2}\left(x_k + \frac{ n }{x}_{k}\right), \ k \ge 0.

On peut choisir par exemple x_0=n\, comme condition initiale.

La suite {xk} converge de manière quadratique vers \sqrt{n} lorsque k \to \infty. Il peut être démontré (la démonstration n'est pas triviale) que l'on peut stopper dès que

|x_{k+1}-x_k| < 1\,

pour que \lfloor x_{k+1} \rfloor=\lfloor \sqrt n \rfloor.

Domaine de calcul

Même si \sqrt n est irrationnel pour la plupart des n, la suite {xk} contient seulement des termes rationnels. Ainsi, avec la méthode de Newton, on n'a jamais besoin de quitter le corps des nombres rationnels pour calculer isqrt(n), un résultat qui possède certains avantages théoriques en théorie des nombres.

Le critère d'arrêt

On peut démontrer que c = 1 est le plus grand nombre possible pour lequel le critère d'arrêt

|x_{k+1}-x_k| < c\,

pour que \lfloor x_{k+1} \rfloor=\lfloor \sqrt n \rfloor dans l'algorithme ci-dessus.

Puisque les calculs informatiques actuels impliquent des erreurs d'arrondi, on a besoin d'utiliser c < 1\, dans le critère d'arrêt, c'est-à-dire :

|x_{k+1}-x_k| < 0,5\,.

Voir aussi

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