Problème à deux corps

Problème à deux corps
étoile binaire

Le problème à deux corps, ou mouvement képlerien est un point de départ de la mécanique classique, et un sujet essentiel de la mécanique céleste. Il concerne l'étude du mouvement relatif de deux points matériels M1 et M2 affectés de masses respectives m1 et m2 en interaction gravitationnelle. La solution était connue de Newton, qui a énoncé la loi fondamentale de la mécanique classique : le résultat est annoncé dans les propositions 57 à 65 de ses Principia.

Si le système est supposé isolé dans l'espace, les points M1 et M2 décrivent par rapport au centre de masse des ellipses homothétiques dont l'un des foyers est le centre de masse. Les caractéristiques (excentricité, position du second foyer) s'expriment en fonction de la masse réduite μ et de la masse totale. Ce résultat, loin d'être scolaire, est employé dans la détection des planètes extrasolaires.

Sommaire

Brève explication

Article détaillé : Mouvement keplerien.

On pose :

\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}m1,m2 sont les masses respectives des points M1,M2
On note G le barycentre des points M1 et M2, pondéré par leurs masses. On définit alors un point fictif M appelé mobile réduit de masse μ et dont la position est définie par : \overrightarrow{M_1M_2}=\vec{r}=\overrightarrow{GM}. Les propriétés suivantes sont alors vérifiées :

Le problème est donc ramené à un mouvement à force centrale, qui a été largement étudié.

Autre méthode

On décide d'étudier le mouvement de M2 dans le référentiel accéléré en translation d'origine M1 : il faut rajouter à la force centrale \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{1/2}}, la force d'inertie centrale -M2 a1 .

Or m_1 \vec{a_1} = \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{2/1}} =- \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{1/2}} :

Donc le PFD s'écrit : m_2 \vec{a_2} = \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{1/2}} + \frac{m_2}{m_1} \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{1/2}} ; soit \mu \vec{a_2}=\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{1/2}}.

Observations astronomiques

Pluton et Charon donnent, dans le système solaire, un bon exemple de couple où les deux membres sont de taille différente, mais aucun n'est négligeable devant l'autre. Le système plutonien comprend deux autres corps, mais leur influence est négligeable par rapport aux deux plus gros.

On observe qu'il existe des couples d'étoiles binaires.

Les limites de la résolution classique

Dans le cas de systèmes massifs en orbite très resserrée, l'approximation newtonienne devient insuffisante pour décrire le mouvement des deux corps, et des effets de relativité générale doivent être pris en compte. C'est notamment le cas dans les pulsars binaires. L'orbite des deux corps doit alors être décrite en faisant intervenir des paramètres supplémentaires appelés paramètres post-képleriens.

L'approximation de la masse nulle

Comme on l'a vu, pour deux corps isolés du reste de l'univers (c'est-à-dire qu'on considère que les forces appliquées sur les deux objets par le reste de l'univers sont négligeables), les deux objets sont en orbite elliptique admettant comme un de ses foyers le centre de masse de l'ensemble (dans un référentiel galiléen). Quand un des objets est bien plus lourd que l'autre, le mouvement de l'objet le plus lourd est imperceptible.

On fait donc l'approximation de supposer l'objet le plus lourd (1) fixe ; son centre de masse est un des foyers de la trajectoire elliptique de l'autre corps (2).

L'accélération du corps 1 est proportionnelle à la masse du corps 2, indépendante de la masse du corps 1, et inversement. En faisant tendre vers zéro la masse du corps 2, on trouve bien la fixité du corps 1.

On peut alors introduire le concept fictif de particule de masse infinitésimale, utilisée dans la définition de l'unité astronomique[1]. En effet, la définition actuelle de cette unité implique une particule de masse infinitésimale, donc n'exerçant aucune force sur le Soleil.

Le concept d'un objet de masse réellement nulle pose un léger problème en mécanique newtonienne. En effet, l'accélération exercée par le Soleil sur un corps est indépendante de sa masse, et demeure la même lorsque cette masse tend vers zéro, puisque la force de gravitation est proportionnelle à la masse et l'accélération, inversement proportionnelle à la force. Dès lors, on peut se demander ce qui se passe quand la masse est nulle. Un premier raisonnement est de considérer que l'accélération reste la même, puisqu'elle ne change pas lorsque la masse tend vers zéro. Mais on peut objecter que la masse étant nulle, il n'y a aucune force de gravité entre les deux corps. Mais la force provoquant une accélération d'un corps de masse nulle est effectivement nulle, sans que l'accélération le soit nécessairement. Dans tous les cas, la force exercée sur le corps massif est nulle. Et dans tous les cas, la conservation de la quantité de mouvement est vérifiée.

Finalement, la mécanique newtonienne laissait irrésolue la question « quelle accélération subit un corps de masse nulle sous l'effet de la gravitation ? ». Cette question fut tranchée par la relativité générale, qui fait de la gravitation une courbure de l'espace-temps lui-même, et donc indique sans ambiguïté que les corps de masse nulle sont également accélérés par la gravité.

Illustrations

Quelques animations représentant les orbites de deux corps (rond blanc) autour du barycentre (croix rouge).

Deux corps de même masse
Un corps de masse légèrement plus importante que l'autre
Un corps de masse plus importante que l'autre
Un corps de masse bien plus importante que l'autre
Deux corps de même masse, orbites elliptiques
Un corps de masse plus importante que l'autre en mouvement linéaire

Références

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Problème à deux corps de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Probleme a deux corps — Problème à deux corps étoile binaire Le problème à deux corps, ou mouvement képlerien est un point de départ de la mécanique classique, et un sujet essentiel de la mécanique céleste. Il concerne l étude du mouvement relatif de deux points… …   Wikipédia en Français

  • Probleme a N corps — Problème à N corps Pour consulter un article plus général, voir : théorie du chaos. Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi… …   Wikipédia en Français

  • Problème des trois corps — Problème à N corps Pour consulter un article plus général, voir : théorie du chaos. Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi… …   Wikipédia en Français

  • Problème à n corps — Pour consulter un article plus général, voir : théorie du chaos. Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions …   Wikipédia en Français

  • Problème à N corps — Pour consulter un article plus général, voir : théorie du chaos. Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions …   Wikipédia en Français

  • CORPS — LES SAVOIRS et les pratiques qui ont pour objet le corps – médecine, arts plastiques, sémiologie, anthropologie, psychanalyse – ont à se débattre, dans la culture occidentale, avec deux traditions philosophiques, la cartésienne et… …   Encyclopédie Universelle

  • CORPS (mathématiques) — La structure de corps n’est en fait qu’un cas particulier de la structure plus générale d’anneau [cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES]; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0.… …   Encyclopédie Universelle

  • Corps fini — Les défauts de gravure, l usure, la poussière que l on observe à la surface d un disque compact nécessitent un codage redondant de l information, qui permet de corriger les erreurs de lecture. Ce code correcteur d erreur utilise des codes de Reed …   Wikipédia en Français

  • corps — (kor ; l s ne se lie pas : un corps animé, dites : un cor animé ; cependant plusieurs prononcent l s dans ce cas : un cor z animé) s. m. 1°   Ce qui fait l existence matérielle d un homme ou d un animal, vivant ou mort. Les corps vivants. Les… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Corps-esprit — Problème corps esprit Y a t il un esprit dans la machine ? Le problème corps esprit est le problème de la détermination des relations entre le corps humain et l esprit. Bien que ce problème existe presque depuis l origine de la philosophie… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”