Probabilite au poker

Probabilite au poker

Probabilité au poker

On peut calculer la probabilité d'avoir chaque type de main de 5 cartes au poker.

Sommaire

Poker fermé : main de base

Le nombre de combinaisons de chaque main se calcule avec l'aide des combinaisons

  • Soit N le nombre de valeurs (N=13 pour un jeu de 52 cartes, et N=8 pour un jeu de 32 cartes).
  • Soit S le nombre de suites admises.
    • Pour un jeu de 52 cartes, en comptant les suites de A-2-3-4-5 à 10-V-D-R-A, S=10.
    • Pour un jeu de 32 cartes, les suites allant de 7-8-9-10-V à 10-V-D-R-A, S=4.

Tableau de synthèse

Le premier tableau résume les probabilités d'obtenir chaque main, pour un jeu de 52 cartes et pour un jeu de 32 cartes. Les calculs pour le jeu de 52 cartes sont faits avec les «quintes étendues», c'est-à-dire que la combinaison A-2-3-4-5 (quinte blanche) est considérée comme une quinte. On remarque que l'ordre de difficulté des mains n'est pas le même pour les deux jeux : la couleur devient plus rare que le carré, et la carte haute plus rare qu'une paire.

Main 52 cartes (quinte étendue) 32 cartes
combinaisons probabilité combinaisons probabilité
Quinte flush 40 0,00154% 16 0,0080%
Carré 624 0,024% 224 0,111%
Full 3 744 0,144% 1 344 0,667%
Couleur (ou Flush) 5 108 0,196% 208 0,103%
Quinte 10 200 0,392% 4 080 2,026%
Brelan 54 912 2,112% 10 752 5,339%
Deux paires 123 552 4,753% 24 192 12,013%
Paire 1 098 240 42,256% 107 520 53,393%
Carte haute 1 302 540 50,117% 53 040 26,339%
Total 2 598 960 100% 201 376 100%

On remarquera que les mains "servies", au dessus du brelan, sont extrêmement rares: moins de un pour-cent des mains à 52 cartes, et moins de 3% à 32 cartes.

Mais quelle est la probabilite pour une quite flush royale ?


Probabilité d'avoir au moins...

En pratique, la plus grande majorité des jeux se joue dans la zone basse: Rien, paire, tirage jouable, double paire ou brelan. Ce sont ces mains qu'il faut étudier pour discuter des risques d'ouvertures et des niveaux de relance.

Jeux ayant plus que… 52 48 44 40 32
Brelan 0,7% 0,9% 1,1% 1,5% 2,9%
Double paire 2,8% 3,3% 4,1% 5,1% 8,8%
Tirage 7,5% 8,9% 10,7% 13,0% 20,8%
Paire As 14,4% 16,1% 18,4% 21,5% 30,9%
Paire Roi 17,5% 19,6% 22,4% 26,0% 36,8%
Paire Dame 20,5% 23,1% 26,4% 30,5% 42,7%
Paire Valet 23,6% 26,6% 30,3% 35,0% 48,6%
Paire 10 26,7% 30,1% 34,3% 39,5% 54,5%
Paire 9 29,8% 33,6% 38,2% 44,0% 60,4%
Paire 8 32,8% 37,0% 42,2% 48,6% 66,3%
Paire 7 35,9% 40,5% 46,1% 53,1% 72,2%
Paire 6 39,0% 44,0% 50,1% 57,6%
Paire 5 42,1% 47,5% 54,1% 62,1%
Paire 4 45,2% 51,0% 58,0%
Paire 3 48,2% 54,4%
Paire 2 51,3%

La lecture de ce tableau est directement: si le talon est de 52 cartes, un joueur a plus qu'une paire d'as dans 14,4% des jeux distribués.

Ce tableau prend en compte les tirages jouables: tirages à la couleur, à la quinte flush, et tirages bilatéraux à la quinte (les tirages simples à la quinte ne sont pas considérés comme "jouables"). Il ne prend pas en compte les quintes blanches (mais c'est sans incidence notable sur les chiffres).

Le tableau considère que le "tirage jouable" est supérieur à la paire. C'est globalement vrai, parce qu'après échange le tirage permet de gagner plus fréquemment qu'une paire, mais si on distingue les types de tirages, le tirage à la couleur est de ce point de vue un peu faible, et pourrait être rétrogradé dans le tableau.

Ce tableau est indépendant du nombre de joueurs, mais n'est pas exploité directement ainsi. L'utilisation typique de ce tableau est de répondre à des questions comme: J'ai une paire de roi servie, nous jouons à quatre à 32 cartes, quelle est la probabilité a priori pour que ma main soit la meilleure? Pour ce type de question, les étapes de calcul sont:

  • La probabilité pour un joueur d'avoir plus qu'une paire de roi dans ces conditions est : 36,8%. Il aura moins avec une probabilité de 63,2%.
  • Pour que la paire de roi soit la plus forte, il faut que le premier adversaire ait moins ET le second ait moins ET le troisième ait moins. La probabilité est le produit des trois: 63,2% x 63,2% x 63,2% = 25,2%.
  • On peut donc parier à un contre trois que ma paire de rois n'est pas la meilleure main des quatre.

Total

Il y a 4N cartes dans le paquet, il y a donc \textstyle{{4N \choose 5}} mains de 5 cartes possibles.

Quinte flush

Une quinte flush est déterminée par la valeur de sa carte haute (\textstyle{{S \choose 1}} possibilités), et par sa couleur (4 possibilités).

Au total, \textstyle{{S \choose 1} 4}.

Carré

Un carré est déterminé par la valeur du carré (\textstyle{{N \choose 1}} valeurs possibles), et par la carte libre (\textstyle{{4N-4 \choose 1}} possibilités).

La seule combinaison au-dessus du carré est la quinte flush (éventuellement royale), et un carré ne peut être aussi une quinte flush, quelle que soit la carte libre, puisque les 4 cartes du carré ont des couleurs différentes

Au total, \textstyle{{N \choose 1} {4N-4 \choose 1}}.

Full

Un full est déterminé par la valeur du brelan (\textstyle{{N \choose 1}} valeurs possibles), les couleurs des 3 cartes qui composent le brelan (\textstyle{{4 \choose 3}} combinaisons de couleurs possibles), la valeur de la paire (\textstyle{{N-1 \choose 1}} valeurs possibles) et les couleurs des 2 cartes qui la composent (\textstyle{{4 \choose 2}} combinaisons de couleurs possibles).

Un full ne peut être ni un carré (puisqu'il n'y a pas de carte libre), ni une quinte flush (puisque les 3 cartes du brelan ont des couleurs différentes).

Au total, \textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 3} {N-1 \choose 1} {4 \choose 2}}.

Couleur

Une couleur contient 5 cartes de valeur différente parmi N, chaque carte devant être de la même couleur.

Une couleur ne peut être ni un carré, ni un full, puisque les 5 cartes ont forcément des valeurs différentes. Une couleur peut être une quinte flush, il faut donc les exclure.

Au total, \textstyle{\left({N \choose 5}-S\right) 4}.

Quinte

Une quinte est déterminée par la valeur de sa carte haute (\textstyle{{S \choose 1}} possibilités), et par les couleurs des cartes qui la composent. Il y a \textstyle{4^5} combinaisons de couleurs.

Une quinte ne peut être ni un full, ni un carré, puisque les 5 cartes ont forcément des valeurs différentes. Mais elle peut être une couleur, et dans ce cas, c'est une quinte flush. Il faut donc exclure ces cas, c'est-à-dire 4 combinaisons de couleurs parmi les \textstyle{4^5}.

Au total, \textstyle{{S \choose 1} (4^5-4)}.

Au moins une Quinte (Quinte flush)

C'est la possibilité d'avoir une quinte ou mieux d'avoir une quinte flush si toutes les cartes sont de la même couleur.

Au total, \textstyle{{S\choose 1}(4^5)}.

Brelan

Un brelan est déterminé par la valeur du brelan (\textstyle{{N \choose 1}} possibilités), les couleurs des cartes du brelan (\textstyle{{4 \choose 3}} possibilités), et les 2 cartes libres.

Pour que la main ne soit ni un carré, ni un full, il faut que les valeurs des deux cartes soient différentes l'une de l'autre et différentes de la valeur du brelan. Leur couleur est libre. (\textstyle{{N-1 \choose 2} 4^2} possibilités).

La main ne peut être une suite, puisque les valeurs des 3 cartes qui forment le brelan devraient être différentes, ni une couleur (ni une quinte flush), puisque les couleurs des 3 cartes du brelan devraient être identiques..

Au total, \textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 3} {N-1 \choose 2} 4^2}.

Deux Paires

Deux paires sont déterminées par les valeurs des deux paires (\textstyle{{N \choose 2}} possibilités), les couleurs des deux cartes de chaque paire (\textstyle{{4 \choose 2}} possibilités pour chacune).

Deux paires ne peuvent être ni une suite, ni une couleur, ni une quinte flush puisque les valeurs des cartes devraient être différentes. Deux paires ne peuvent pas non plus être un carré, puisque la carte libre fait au mieux un full. Pour ne pas faire de brelan/full, il faut que la carte libre ait une valeur différente de chacune des deux paires (N-2 possibilités). Sa couleur est libre (4 possibilités).

Au total, \textstyle{{N \choose 2} {4 \choose 2}^2 (N-2) 4}.

Au moins une paire (Full ou double paire possibles)

Une paire est déterminée par sa valeur (\textstyle{{N \choose 1}} possibilités), la couleur de ses cartes (\textstyle{{4 \choose 2}} possibilités), les valeurs des 3 cartes libres (\textstyle{(N-1)^3} possibilités) et leurs couleurs.

Au total, \textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 2} (N-1)^3 4^3}.

Au moins une paire (Brelan, carré, full ou double paire possibles)

Le nombre de mains ne contenant pas de paire s'obtient en choisissant 5 valeurs parmi les N possibles : \textstyle{{N \choose 5}} et pour chaque carte, sa couleur \textstyle{4^5}, soit \textstyle{{N \choose 5} 4^5}.

Au total, \textstyle{{4N \choose 5}-{N \choose 5} 4^5}.

Une Paire

Une paire est déterminée par sa valeur (\textstyle{{N \choose 1}} possibilités), la couleur de ses cartes (\textstyle{{4 \choose 2}} possibilités).

Une paire ne peut être ni une suite, ni une couleur, ni une quinte flush puisque les valeurs des cartes devraient être différentes. Pour que la paire ne forme ni deux paires, ni un brelan, ni un full, ni un carré, il faut que les valeurs des 3 cartes libres soient différentes entre elles et différentes de la valeur de la paire (\textstyle{{(N-1) \choose 3}} possibilités). Leurs couleurs sont libres (\textstyle{4^3} possibilités).

Au total, \textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 2} {(N-1) \choose 3} 4^3}.

Carte haute

Dans une main « Carte Haute », chaque carte a une valeur différente. Il faut donc tirer 5 valeurs parmi N. Cependant, parmi ces combinaisons, il y en a S qui forment des suites, qu'il ne faut pas compter. De plus, chacune de ces 5 cartes peut avoir n'importe quelle couleur, à condition que les 5 cartes n'aient pas la même couleur. Il y a donc \textstyle{4^5-4} combinaisons de couleur. Au total, il y a \textstyle{\left({N \choose 5}-S\right) \left(4^5-4\right)} combinaisons

Poker fermé : amélioration d'une main

Quinte flush, carré, full, couleur et quinte sont peu (ou pas) améliorables. On s'intéresse donc en particulier aux probabilités d'amélioration avec une main initiale de type carte haute, paire, brelan ou double paire. Dans les mains « carte haute », on note en particulier les cas où il ne manque qu'une carte pour former une couleur ou une quinte, que l'on appelle tirage.

Poker ouvert : meilleure main sur 7 cartes

Dans le Texas Hold'em ou le Stud à sept cartes, il s'agit de former la meilleure main de cinq cartes parmi sept.

Main 52 cartes (quinte étendue) 32 cartes
Combinaisons Probabilité Combinaisons Probabilité
Quinte flush 41 584 0.031% 5 304 0.158%
Carré 224 848 0.168% 26 208 0.779%
Full 3 473 184 2.596% 357 504 10.621%
Couleur 4 047 644 3.025% 59 240 1.760%
Quinte 6 180 020 4.619% 524 960 15.597%
Brelan 6 461 620 4.83 % 263 120 7.817%
Deux paires 31 433 400 23.496% 1 421 280 42.226%
Paire 58 627 800 43.823% 677 160 20.119%
Carte haute 23 294 460 17.412% 31 080 0.923%
total 133 784 560 100.0  % 3 365 856 100.0  %
Détails du calcul

Soit N le nombre de valeurs (N=13 pour un jeu de 52 cartes, et N=8 pour un jeu de 32 cartes).

Total

Il y a 4N cartes dans le paquet, il y a donc \textstyle{{4N\choose 7}} mains de 7 cartes possibles.

Quinte flush

Une quinte flush est déterminée par la valeur de sa carte haute (\textstyle{{S \choose 1}} possibilités), par sa couleur (4 possibilités), et par les 2 cartes libres (\textstyle{{4N-5}\choose 2} possibilités). Cependant, si la quinte flush n'est pas royale, l'une des deux cartes libres peut l'améliorer, et ainsi on compte plusieurs fois la même main. Il suffit d'interdire la carte juste au-dessus de la quinte flush, de la même couleur, pour les 2 cartes libres. Il y a alors (\textstyle{{4N-6\choose 2}} possibilités pour les 2 cartes libres.

Au total, \textstyle{4\left({4N-5\choose 2}+{S-1\choose 1}{4N-6\choose 2}\right)}.

Carré

Un carré est déterminé par la valeur du carré (\textstyle{{N\choose 1}} valeurs possibles), et par les 3 cartes libres (\textstyle{{4N-4\choose 3}} possibilités).

Les 3 cartes libres ne peuvent pas former de quinte flush, puisqu'il faudrait 2 cartes de plus, et que les 4 cartes restantes de la main ont même valeur.

Au total, \textstyle{{N\choose 1}{4N-4\choose 3}}

Full

Il y a 3 façons de construire un full:

  1. un brelan, une paire, et deux cartes libres différentes
  2. deux brelans et une carte libre
  3. un brelan et deux paires

Pour chacune de ces façons, la main est déterminé par :

  1. le brelan (\textstyle{{N\choose 1}{4\choose 3}} possibilités), la paire (\textstyle{{N-1\choose 1}{4\choose 2}} possibilités), et les valeurs des deux cartes libres (leurs valeurs sont différentes, leurs couleurs libres, donc \textstyle{{N-2\choose 2}4^2} possibilités).
  2. les deux brelans (\textstyle{{N\choose 2}{4\choose 3}^2} possibilités) et la carte libre (\textstyle{{N-2\choose 1}4} possibilités).
  3. le brelan (\textstyle{{N\choose 1}{4\choose 3}} possibilités) et les paires (\textstyle{{N-1\choose 2}{4\choose 2}^2} possibilités)

Aucune de ces combinaisons ne peut être un carré puisque l'on interdit aux paires d'avoir la même valeur, et aux cartes libres d'avoir la même valeur que les brelans ou les paires. Aucune de ces combinaisons ne peut être une quinte flush, puisqu'il y a 4,3 et 3 valeurs différentes.

Au total, \textstyle{{N\choose 1}{4\choose 3}{N-1 \choose 1}{4\choose 2}{N-2 \choose 2}4^2+{N\choose 2}{4\choose 3}^2{N-2\choose 1}4+{N\choose 1}{4\choose 3}{N-1\choose 2}{4\choose 2}^2}.

Couleur

Il y a 3 façons d'obtenir une couleur :

  1. 5 cartes de même couleur, 2 cartes libres de couleurs différente
  2. 6 cartes de même couleur, 1 carte libre de couleur différente
  3. 7 cartes de même couleur

Pour chacune de ces façons, la main est déterminée par:

  1. les 5 cartes (\textstyle{{N\choose 5}} possibilités), leur couleur et les deux cartes libres (\textstyle{{3N\choose 2}} possibilités).
  2. les 6 cartes (\textstyle{{N\choose 6}} possibilités), leur couleur, la carte libre (\textstyle{{3N\choose 1}} possibilités).
  3. les 7 cartes (\textstyle{{N\choose 7}} possibilités) et leur couleur.

Les cartes libres éventuelles ne peuvent former ni full ni carré, puisque au mieux elles forment un brelan avec l'une des 5 cartes. Elles peuvent former toutes les quintes flush possibles. Il faut donc les retirer.

Au total, \textstyle{4\left({N\choose 5}{3N\choose 2}+{N\choose 6}{3N\choose 1}+{N\choose 7}-\left({4N-5\choose 2}+{S-1\choose 1}{4N-6\choose 2}\right)\right)}.

Quinte

Il y a 4 façons d'obtenir une Quinte avec 7 cartes :

aucune paire, 7 valeurs différentes

La main est alors déterminée par la valeur de la quinte (S possibilités), la valeur des deux cartes libres (\textstyle{{N-5 \choose 2}} possibilités), et la couleur des 7 cartes (\textstyle{4^7} possibilités).

Cependant, si la quinte n'est pas à l'As, l'une des deux cartes libres peut l'améliorer, et ainsi on compte plusieurs fois la même main. Il suffit d'interdire les cartes juste au-dessus de la quinte, pour les 2 cartes libres. Il y a alors (\textstyle{{N-6\choose 2}} valeurs possibles pour les 2 cartes libres.

Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque les valeurs sont toutes différentes. Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 couleurs 5 sont identiques, ce qui arrive dans \textstyle{4 \left(1+{7 \choose 6} 3+{7 \choose 5} 3^2\right)} combinaisons de couleurs. Il faut donc restreindre le nombre de combinaisons de couleurs à (\textstyle{4^7-4 \left(1+{7 \choose 6} 3+{7 \choose 5} 3^2\right)}.

En tout, \textstyle{\left({N-5 \choose 2}+(S-1) {N-6 \choose 2}\right) \left(4^7-4 \left(1+{7 \choose 6} 3+{7 \choose 5} 3^2\right)\right)}.

une paire, 6 valeurs différentes

la main est alors déterminée par la valeur de la quinte (S possibilités), la valeur de la carte libre, (\textstyle{{N-5 \choose 1}} possibilités), la valeur de la paire (\textstyle{{6 \choose 1}} possibilités), les couleurs des cartes de la paire (\textstyle{{4 \choose 2}} possibilités) et la couleur des cartes de la quinte (\textstyle{4^5} possibilités).

Cependant, si la quinte n'est pas à l'As, la carte libre peut l'améliorer, et ainsi on compte plusieurs fois la même main. Il suffit d'interdire les cartes juste au-dessus de la quinte, pour la carte libre. Il y a alors (\textstyle{{N-6\choose 1}} valeurs possibles pour la carte libre.

Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque hormis la paire, les valeurs sont toutes différentes. Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 couleurs 5 sont identiques. 2 façons que ça arrive :

  • les 5 cartes qui ne font pas partie de la paire sont de la même couleur (\textstyle{{4 \choose 1}} possibilités)
  • parmi les 5 cartes qui ne font pas partie de la paire, 4 ont la même couleur qu'une des 2 cartes de la paire (\textstyle{{5 \choose 4} {2 \choose 1} {3 \choose 1}} possibilités).

En tout, \textstyle{\left({N-5 \choose 1}+(S-1) {N-6\choose 1}\right) {4 \choose 2} {6 \choose 1} \left(4^5 -\left({4 \choose 1}+{5 \choose 4} {2 \choose 1} {3 \choose 1}\right)\right)}.

deux paires, 5 valeurs différentes

La main est alors déterminée par la valeur de la quinte (S possibilités), la valeur des paires (\textstyle{{5 \choose 2}} possibilités), les couleurs des cartes des deux paires (\textstyle{{4 \choose 2}^2} possibilités) et la couleur des trois cartes restantes de la quinte (\textstyle{4^3} possibilités).

Les deux cartes libres forment chacune une paire avec une carte de la quinte, elles ne peuvent donc pas l'améliorer.

Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque hormis les deux paires, les valeurs sont différentes. Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 couleurs 5 sont identiques. Ces 5 cartes utilisent forcément une couleur de chaque paire, plus les 3 cartes qui ne font pas partie d'une paire, puisque deux cartes d'une même paire ont des couleurs différentes :

  • si les deux paires ont les mêmes couleurs (dans 1 cas sur les \textstyle{{4 \choose 2}} de la couleur de la seconde paire), 2 possibilités
  • si les deux paires ont une unique couleur en commun (dans \textstyle{{4 \choose 2}-2} cas de la couleur de la seconde paire), 1 possibilité

Soit \textstyle{{4 \choose 2} \left(4^3-1\right)}

En tout, \textstyle{S {5 \choose 2} {4 \choose 2}^2 \left(4^3-1\right)}.

un brelan, 5 valeurs différentes

La main est alors déterminée par la valeur de la quinte (S possibilités, la valeur des deux cartes libres (\textstyle{{5 \choose 1}} possibilités), les couleurs des cartes du brelan (\textstyle{{4 \choose 3}} possibilités), et la couleur des quatre cartes restantes de la quinte (\textstyle{4^4} possibilités).

Les deux cartes libres forment un brelan avec l'une des cartes de la quinte, elles ne peuvent donc pas l'améliorer.

Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque hormis le brelan, les valeurs sont différentes. Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 couleurs 5 sont identiques. Ces 5 couleurs utilisent forcément une couleur du brelan, et les 4 cartes de la quinte restantes : 3 possibilités.

En tout, \textstyle{S {5 \choose 1} {4 \choose 3} \left(4^4-3\right)}

Au total,

\textstyle{\left({N-5 \choose 2}+(S-1) {N-6 \choose 2}\right) \left(4^7-4 \left(1+{7 \choose 6} 3+{7 \choose 5} 3^2\right)\right)+\left({N-5 \choose 1}+(S-1) {N-6 \choose 1}\right) {4 \choose 2} {6 \choose 1} \left(4^5 -\left({4 \choose 1}+{5 \choose 4} {2 \choose 1} {3 \choose 1}\right)\right)+S {5 \choose 2} {4 \choose 2}^2 \left(4^3-1\right)+S {5 \choose 1} {4 \choose 3} \left(4^4-3\right)}

Brelan

Un brelan est déterminé par les 5 valeurs (le brelan et les 4 cartes libres, \textstyle{{N \choose 5}} possibilités),la valeur du brelan parmi celles-ci (\textstyle{{5 \choose 1}} possibilités), les couleurs des cartes du brelan (\textstyle{{4 \choose 3}} possibilités), et les 4 cartes libres.

Pour que cette main ne soit ni un carré, ni un full, il faut que les valeurs des quatre cartes libres soient différentes deux à deux et différentes de la valeur du brelan (\textstyle{{N-1 \choose 4}} possibilités). Leur couleur est libre (\textstyle{4^4} possibilités).

Cette main peut être une suite, si les 5 valeurs se suivent (S possibilités).

Cette main peut être une couleur, si les 4 cartes libres ont la même couleur que l'une des cartes du brelan (3 possibilité).

Au total, \textstyle{\left({N \choose 5}-S\right) {5 \choose 1} {4 \choose 3} \left(4^4-3\right)}

On peut également noter que certains brelans sont plus probables que d'autres. Tout simplement car parmi les mains qui sont des suites et contiennent un brelan, il y a moins d'AS (seulement inclus dans les suites à l'As et celles au 5) que le 10 (Suites à l'AS au Roi, à la Dame, au Valet ou au dix)

Deux paires

Deux façons de faire deux paires avec 7 cartes :

  1. 3 paires et 1 carte libre
  2. 2 paires et 3 cartes libres

Pour chacune de ces façons, la main est déterminée par:

  1. la valeur des 3 paires (\textstyle{{N \choose 3}} possibilités), les couleurs des cartes de chaque paire (\textstyle{{4 \choose 2}^3} possibilités), la valeur de la carte libre (\textstyle{{N-3 \choose 1}} possibilités) et sa couleur.

Une telle main ne peut pas être un brelan, un full, ou un carré. Elle ne peut pas être une suite puisqu'il n'y a que 4 valeurs différentes. Elle ne peut pas être une couleur, puisque les 3 paires apportent au plus 3 cartes de même couleur, avec la carte libre il ne peut y avoir que 4 cartes de même couleur.

En tout, \textstyle{{N \choose 3} {4 \choose 2}^3 {N-3 \choose 1} 4}.

  1. les 5 valeurs (\textstyle{{N \choose 5}} possibilités), les valeurs des 2 paires parmi ces 5 valeurs (\textstyle{{5 \choose 2}} possibilités, les couleurs des cartes des deux paires (\textstyle{{4 \choose 2}^2} possibilités), et les couleurs des 3 cartes libres.

Une telle main ne peut pas être un brelan, un full, ou un carré.

Elle peut être une suite, si les 5 valeurs se suivent (S possibilités).

Elle peut être une couleur, si les deux paires ont au moins une couleur en commun et que les 3 cartes libres ont cette couleur:

    • si les deux paires ont les mêmes couleurs (dans 1 cas sur les \textstyle{{4 \choose 2}} de la couleur de la seconde paire), 2 possibilités
    • si les deux paires ont une unique couleur en commun (dans \textstyle{{4 \choose 2}-2} cas de la couleur de la seconde paire), 1 possibilité

Soit \textstyle{{4 \choose 2} \left(4^3-1\right)}

En tout, \textstyle{\left({N \choose 5}-S\right) {5 \choose 2} {4 \choose 2}^2 \left(4^3-1\right)}.

Au total, \textstyle{{N \choose 3} {4 \choose 2}^3 {N-3 \choose 1} 4+\left({N \choose 5}-S\right) {5 \choose 2} {4 \choose 2}^2 \left(4^3-1\right)}.

Paire

Une paire est définie par les 6 valeurs de la main (\textstyle{{N \choose 6}} possibilités), la valeur parmi ces 6 qui constitue la paire (\textstyle{{6 \choose 1}} possibilités), la couleur des 2 cartes de la paire (\textstyle{{4 \choose 2}} possibilités), et la couleur des 5 cartes libres.

Une telle main ne peut pas être deux paires, un brelan, un full ou un carré.

Elle peut être une suite, si parmi les 6 valeurs, au moins 5 se suivent. (\textstyle{{N-5 \choose 1}+(S-1) {N-6 \choose 1}}

Elle peut être une couleur, deux cas possibles :

  • les 5 cartes libres ont la même couleur (4 possibilités)
  • Parmi les 5 cartes libres, 4 ont la même couleur qu'une des cartes de la paire, la couleur de la cinquième carte étant libre (\textstyle{{2 \choose 1} 3 {5 \choose 4}} possibilités)

Au total, \textstyle{\left({N \choose 6}-\left({N-5 \choose 1}+(S-1) {N-6 \choose 1}\right)\right) {6 \choose 1} {4 \choose 2} \left(4^5-\left(4+{2 \choose 1} {5 \choose 4} 3\right)\right)}

Carte haute

Dans une main « Carte Haute », chaque carte a une valeur différente. Il faut donc tirer 7 valeurs parmi N: \textstyle{{N \choose 7}}

Cependant, parmi ces combinaisons, il y en a \textstyle{{N-5 \choose 2}+(S-1) {N-6 \choose 2}} qui forment des suites, qu'il ne faut pas compter.

De plus, chacune de ces 7 cartes peut avoir n'importe quelle couleur, à condition qu'il n'y en ait pas au moins 5 qui ont la même couleur c'est-à-dire d'éviter que :

  • les 7 cartes aient toutes la même couleur (4 possibilités)
  • Parmi les 7 cartes, 6 exactement aient la même couleur (\textstyle{4 {7 \choose 6} 3} possibilités)
  • Parmi les 7 cartes, 5 exactement aient la même couleur (\textstyle{4 {7 \choose 5} 3^2} possibilités)

Il y a donc \textstyle{4^7-4 \left(1+3 {7 \choose 6}+3^2 {7 \choose 5}\right)} combinaisons de couleur.

Au total, il y a \textstyle{\left({N \choose 7}-\left({N-5 \choose 2}+(S-1) {N-6 \choose 2}\right)\right) \left(4^7-4 \left(1+3 {7 \choose 6}+3^2 {7 \choose 5}\right)\right)} combinaisons.

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