Principe du minimum de Pontryagin

Principe du minimum de Pontryagin

Le principe du minimum de Pontryagin est utilisé dans la théorie du contrôle optimal pour trouver la commande optimale permettant d'amener un système dynamique d'un état à un autre, en présence de contraintes portant sur l'état ou les commandes d'entrée.

Il a été formulé par le mathématicien soviétique Lev Semenovich Pontryagin et ses étudiants. On peut le rattacher à la question plus générale du traitement des équations d'Euler-Lagrange dans le domaine du calcul des variations.

Le principe examine la minimisation d'un Hamiltonien sur \mathcal{U}, l'espace des commandes admissibles. Si u^*\in \mathcal{U} est la commande optimale pour le problème, alors le principe énonce que :

H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t),t) \leq H(x^*(t),u(t),\lambda^*(t),t), \quad \forall u \in \mathcal{U}, \quad t \in [t_0, t_f]

où x^*\in C^1[t_0,t_f] est la trajectoire d'état optimale et \lambda^* \in BV[t_0,t_f] la trajectoire de co-état optimale.

Ce résultat a été initialement appliqué pour la résolution de problèmes de minimisation de temps de transformation avec contraintes sur les commandes d'entrées, mais il peut également être utilisé pour résoudre des problèmes à contrainte d'état.

Il est également possible de dériver des conditions spécifiques sur l'Hamiltonien. Si l'instant final tf est fixé et que l'hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps (\frac{\partial H}{\partial t} \equiv 0), alors :

H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv \mathrm{constant}\,

si l'instant final n'est pas fixé, alors :

H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv 0.\,

Des conditions plus générales sur la commande optimale sont données ci dessous.

Le principe du minimum de Pontryagin énonce des conditions nécessaires d'optimalité. Les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman permettent d'énoncer des conditions suffisantes d'optimalité.

Maximisation et minimisation

Ces résultats sont parfois connus sous le nom de principe du maximum de Pontryagin. Cela est dû au fait que le travail initial de Pontryagin était centré sur la maximisation d'une fonctionnelle de bénéfice plutôt que la minimisation d'une fonctionnelle de coût.

La démonstration historique du principe du minimum est basée sur la maximisation de l'hamiltonien et non sur sa minimisation. Dans ce cadre minimiser une fonction de coût plutôt qu'un bénéfice revient à mutliplier la fonction par − 1. Les applications modernes du principe sont centrées sur la résolution de problèmes de minimisation.

Énoncé complet des conditions nécessaires de résolution du problème de minimisation

Les conditions nécessaires pour la minimisation d'une fonctionnelle sont les suivantes. Soit x l'état du système dynamique et u la variable de commande, telle que : \dot{x}=f(x, u), \quad x(0)=x_0, \quad u(t) \in \mathcal{U}, \quad t \in [0,T] où \mathcal{U} est l'espace des commandes admissibles et T la date de l'état final su système. La commande u \in \mathcal{U} doit être déterminée pour tout t \in [0,T] afin de maximiser la fonctionnelle J, définie par : J=\Psi(x(T))+\int^T_0 L(x(t), u(t)) dt

Les contraintes sur la dynamique du système peuvent être adjointes au Lagrangien L en introduisant le vecteur des multiplicateurs de Lagrange fonction du temps λ. Ces éléments sont appelés co-états du système.

Cela permet de construire l'Hamiltonien H défini pour tout t \in [0,T] par :

H(\lambda(t), x(t), u(t), t)=\lambda'(t)f(x(t), u(t))+L(x(t), u(t)) \,

où λ' est le transposé de λ.

Le principe du minimum de Pontryagin énonce que la trajectoire d'état optimale x * , la commande optimale u * , et le vecteur des multiplicateurs de Lagrange correspondant λ * doivent minimiser l'hamiltonien H de façon à ce que

(1) \qquad H(x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t), t)<H(x^*(t), u(t), \lambda^*(t), t) \,

pour tout temps t \in [0,T] et tout contrôle admissible u.

Il doit être également vérifié que

(2) \qquad \Psi_T(x(T))+H(T)=0 \,

Enfin l'équation de co-état

(3) \qquad -\dot{\lambda}'(t)=H_x(x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t), t)=\lambda'(t)f_x(x^*(t), u^*(t))+L_x(x^*(t), u^*(t))

doit être satisfaite. Si l'état final x(T) n'est pas fixé (i.e., si sa variation différentielle n'est pas nulle), alors les co-états finaux doivent vérifier que

(4) \qquad \lambda'(T)=\Psi_x(x(T)) \,

Ces quatre conditions (1)-(4) constituent les conditions nécessaires d'optimalité de la commande. La condition (4) ne s'applique que lorsque x(T) n'est pas fixé, dans le cas contraire cette quatrième condition n'est pas nécessaire.

Les notations utilisées ci dessus s'explicitent ainsi .

\Psi_T(x(T))= \frac{\partial \Psi(x)}{\partial T}|_{x=x(T)} \,
\Psi_x(x(T))=\begin{bmatrix} \frac{\partial \Psi(x)}{\partial x_1}|_{x=x(T)} & \cdots & \frac{\partial \Psi(x)}{\partial x_n} |_{x=x(T)} \end{bmatrix}
H_x(x^*, u^*, \lambda^*, t)=\begin{bmatrix} \frac{\partial H}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*, \lambda=\lambda^*} & \cdots & \frac{\partial H}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*, \lambda=\lambda^*} \end{bmatrix}
L_x(x^*, u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*} & \cdots & \frac{\partial L}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*} \end{bmatrix}
f_x(x^*, u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}|_{x=x^*, u=u^*} & \ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}|_{x=x^*, u=u^*} \end{bmatrix}

Références

  • L.S. Pontryagin, V.G. Boltyanskii, R.V. Gamkrelidze et E.F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes, Interscience, 1962 (ISBN 2881240771) 
  • J.F. Bonnans et P. Rouchon, Commande et optimisation de systèmes dynamiques, Editions de l'Ecole Polytechnique, 2005 (ISBN 2730212515) 
  • D.E. Kirk, Optimal Control Theory, An Introduction, Prentice Hall, 1970 (ISBN 0486434842) 

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Principe du minimum de Pontryagin de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Principe du minimum de pontryagin — Le principe du minimum de Pontryagin est utilisé dans la théorie du contrôle optimal pour trouver la commande optimale permettant d amener un système dynamique d un état à un autre, en présence de contraintes portant sur l état ou les commandes d …   Wikipédia en Français

  • Principe du maximum — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. En mathématiques, et, le plus souvent, en analyse, on désigne par principe du maximum divers théorèmes affirmant l existence ou la position du maximum (ou …   Wikipédia en Français

  • Lev Semenovich Pontryagin — Lev Pontriaguine Lev S. Pontriaguine (à gauche) en 1970. Lev Semionovitch Pontriaguine (en russe : Лев Семёнович Понтрягин; ISO 9 : Lev Semёnovič Pontrâgin), né le 3 septembre 1908 à Mo …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Lev Pontriaguine — Lev S. Pontriaguine (à gauche) en 1970. Lev Semionovitch Pontriaguine (en russe : Лев Семёнович Понтрягин; ISO 9 : Lev Semёnovič Pontrâgin), né le 3 septembre 1908 à Moscou et mort le 3 mai 1988, était un …   Wikipédia en Français

  • Lev Pontriagine — Lev Pontriaguine Lev S. Pontriaguine (à gauche) en 1970. Lev Semionovitch Pontriaguine (en russe : Лев Семёнович Понтрягин; ISO 9 : Lev Semёnovič Pontrâgin), né le 3 septembre 1908 à Mo …   Wikipédia en Français

  • Pierre Massé —  Pour l’article homonyme, voir Massé.  Pierre Massé (13 janvier 1898 à Paris XVIe 15 décembre 1987 à Paris XVIe) est un économiste et haut fonctionnaire français. Biographie Ancien élève de l École polytechnique,… …   Wikipédia en Français

  • JEUX (THÉORIE DES) — La théorie des jeux est, parmi les techniques de la recherche opérationnelle, celle qui s’occupe spécialement des situations dans lesquelles plusieurs personnes ont à prendre des décisions dont dépend un résultat qui les concerne. Les diverses… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”