Nombre de motzkin

Nombre de motzkin

Nombre de Motzkin

Fixons n points distincts sur un cercle. Le n-ième nombre de Motzkin est le nombre de façons de choisir des cordes ne se coupant pas, parmi les n(n-1)/2 cordes reliant deux de ces n sommets.s. Les nombres de Motzkin ont de très nombreuses applications en géométrie, combinatoire et théorie des nombres. Les premiers nombres de Motzkin sont, d'après suite A001006 de l’OEIS :

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15.511, 41.835, 113.634, 310.572, 853.467, 2.356.779, 6.536.382, 18.199.284, 50.852.019, 142.547.559, 400.763.223, 1.129.760.415, 3.192.727.797, 9.043.402.501, 25.669.818.476, 73.007.772.802, 208.023.278.209, 593.742.784.829,...

Un nombre premier de Motzkin est un nombre de Motzkin qui est premier. Les premiers nombres premiers de Motzkin sont, d'après suite A092832 de l’OEIS :

2, 127, 15.511, 953.467.954.114.363

Le n-ième nombre de Motzkin est aussi le nombre de suites d'entiers positifs de longueur n - 1 vérifiant les deux conditions suivantes: le premier et le dernier éléments valent 1 ou 2; la différence entre deux éléments consécutifs est -1, 0 ou 1.

Le n-ième nombre de Motzkin est également le nombre de chemins relaint le point (0,0) au point (n,0), constitué de pas Nord-Est (1,1) ou Sud-Est (1,-1) ou Est (1,0), le chemin devant se trouver entièrement dans le quadrant supérieur droit d'un repère.

Dans leur tour d'horizon des nombres de Motzkin en 1977, Donaghey et Shapiro présentent quatorze interventions différentes des nombres de Motzkin dans les mathématiques.

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