Longueur de Debye

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En physique des plasmas, la longueur de Debye, en référence au chimiste Peter Debye, est l'échelle de longueur sur laquelle les charges électriques (par exemple les électrons) écrantent le champ électrostatique dans un plasma ou un autre conducteur. Autrement dit, la longueur de Debye est la distance au delà de laquelle une séparation significative des charges peut avoir lieu.

La longueur de Debye apparait aussi dans la théorie des solutions d'électrolyte ; elle y définit la longueur sur laquelle les ions présents en solution font écran au champ électrique, généré par exemple par une paroi chargée ou un colloïde. De manière équivalente, la longueur de Debye caractérise l'épaisseur de la double couche électrique, nom donné à la couche diffuse d'ions qui apparait en vis-à-vis d'une surface chargée, porteuse d'une charge nette opposée à celle de la surface.

Sommaire

1 Origine Physique
2 Quelques exemples
3 La longueur de Debye dans un plasma
4 La longueur de Debye dans un électrolyte
5 Liens internes
6 Liens externes

Origine Physique

La longueur de Debye se pose dans la description thermodynamique des système à grand nombre de charge mobile. Dans un système de N différentes espèce de charges, la $j$ -ième espèce porte la charge $q j$ et a une concentration $n_j(\mathbf{r})$ à la position $\mathbf{r}$ . D'après le dénommé "primitive model", ces charges sont répartis dans un milieu continue qui est caractérisé seulement par sa permittivité relative statique $ε r$ . La répartition des charges dans le milieu est donné par un potentiel électrique $\Phi(\mathbf{r})$ qui satisfait l'équation de Poisson:

$\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r})$ ,

où $ε 0$ est la permittivité diélectrique du vide.

Ces charges mobile créent aussi un mouvement en réponse à la force de Coulomb associée $- q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r})$ . La concentration de la $j$ -ième espèce de charge est décrite par la distribution de Boltzmann:

$n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)$ ,

où $k B$ est la constante de Boltzmann et $n_j^0$ est la concentration moyenne de charge de l'espèce math>j</math>.

En identifiant les concentration instantanée et le champs moyen dans ces deux équations cela donne l'équation de Poisson-Boltzmann.

$\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)$ .

Un solution peut être trouvé pour les système à haute températures lorsque $q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_B T$ par un développement en série de Taylor de la fonction exponentielle:

$\exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right) \approx 1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T}$ .

Cette approximation donne l'équation de Poisson-Boltzmann linéarisé

$\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = \left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j$

Qui est aussi connu sous le nom d'équation de Debye-Hückel. Le second terme de la partie droite disparaît pour les système électriquement neutre. Le terme entre parenthèses est homogène à l'inverse d'une longueur au carré et donne la longueur caractéristique :

$\lambda_D = \left(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T}{\sum_{j = 1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}$

Quelques exemples

Dans l'espace, la densité d'électrons dans les plasmas est relativement faible, ce qui permet d'obtenir les ordres de grandeurs macroscopiques pour la longueur de Debye (voir table) :

Plasma	Densité n_e(m^-3)	Température des électrons T(K)	Champ magnétique B(T)	Longueur de Debye λ_D(m)
Décharge dans un gaz	10¹⁶	10⁴	--	10^-4
Tokamak	10²⁰	10⁸	10	10^-4
Ionosphère	10¹²	10³	10^-5	10^-3
Magnétosphère	10⁷	10⁷	10^-8	10²
Noyau solaire	10³²	10⁷	--	10^-11
Vent solaire	10⁶	10⁵	10^-9	10
Milieu interstellaire	10⁵	10⁴	10^-10	10
Milieu intergalactique	1	10⁶	--	10⁵

Source : (en) Chapter 19: The Particle Kinetics of Plasma
http://www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2008/

La longueur de Debye dans un plasma

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\displaystyle\frac{\varepsilon_0\,k_B}{q_\mathrm{e}^2}}{\displaystyle\frac{n_\mathrm{e}}{T_\mathrm{e}}+\displaystyle\sum_\mathrm{ij} \frac{j^2n_\mathrm{ij}}{T_\mathrm{i}}}}$

où:

$λ D$ est la longueur de Debye,

$ε 0$ est la permittivité du vide,

$k B$ est la constante de Boltzmann,

$q e$ est la charge d'un électron,

$T e$ et $T i$ sont respectivement les températures des électrons et des ions,

$n e$ est la densité d'électrons,

$n ij$ est la densité d'atomes $i$ ayant une charge $j q e$

Le terme ionique est souvent négligé (lorsque la température des ions est négligeable devant celle des électrons}. La formule se simplifie alors en :

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0\,k_\mathrm{B}\,T_\mathrm{e}}{n_\mathrm{e}\,{q_\mathrm{e}}^2}}$

La longueur de Debye dans un électrolyte

Expression

En présence de $n$ types d'ions de charge $q i$ ( $i = 1,\ldots,n$ ) dans la solution d'électrolyte, la longueur de Debye est donnée par :

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{ \frac{\varepsilon_\mathrm{d} k_\mathrm{B}T}{\sum_\mathrm{i}\,q_\mathrm{i}^2\,c_\mathrm{i}^0} }$ ,

où :

$\varepsilon_\mathrm{d} = \varepsilon_0\,\varepsilon_\mathrm{r}$ est la permittivité diélectrique du solvant ( $ε 0$ étant la permittivité diélectrique du vide, environ égale à $8,85.10 - 12 F/m$ , et $ε r$ la permittivité relative du solvant : dans l'eau à température ambiante $\varepsilon_\mathrm{r} \approx 80$ ) ;
$T$ est la température exprimée en Kelvin ; $k B$ est la constante de Boltzmann, environ égale à $1,38.10 - 23 J/K$ , qui relie température et énergie thermique ;
$c_\mathrm{i}^0$ est la concentration en ions de charge $q i$ loin de la charge écrantée (là où le champ électrique est nul), exprimée en $ions / m 3$ .

Cette expression de la longueur de Debye apparait lors de la résolution de l'équation de Poisson-Boltzmann, qui décrit l'écrantage d'une charge par les (micro)ions dans une solution d'électrolyte.

Dans le cas d'un électrolyte monovalent comme le chlorure de sodium (NaCl, sel de cuisine) ou le chlorure de potassium (KCl) :

$\lambda_\mathrm{D} = \sqrt{ \frac{\varepsilon_\mathrm{d}\,k_\mathrm{B}T}{2 e^2 c_\mathrm{s}^0} }$ ,

où $c_\mathrm{s}^0$ est la concentration en électrolyte de la solution, exprimée en $ions / m 3$ .

Lors des applications numériques, les concentrations en ions, généralement exprimées en $mol / L$ , doivent être converties en $ions / m 3$ ; on utilise pour cela la formule suivante :

$c (\mathrm{ions/m^3}) = c (\mathrm{mol/L}) \times N_\mathrm{A} \times 10^3,$

où $N A$ est le nombre d'Avogadro.

Valeurs typiques

Dans une solution aqueuse de sel monovalent (par exemple : sel de cuisine dissous dans de l'eau) à température ambiante (environ 20 °C), la longueur de Debye ne dépend plus que de la concentration en sel $c s$ , exprimée en mol/L :

$\lambda_\mathrm{D} = \frac{\text{0,3 nm}}{\sqrt{c_\mathrm{s} \mathrm{(mol/L)}}}$ .

La longueur de Debye diminue lorsque la concentration en sel augmente.

Dans l'eau pure (situation extrêmement difficile à réaliser expérimentalement), l'auto-dissociation de l'eau donne lieu à la présence d'ions $H +$ et $OH -$ , avec une concentration de $10 - 7 mol/L$ chacun. Ainsi, même dans la situation la plus idéale, le champ électrique sera écranté dans l'eau sur une distance de l'ordre de 700 nm, inférieure au micron. Pour des concentrations en sel significatives, la longueur de Debye varie de quelques dizaines de nanomètres à une fraction de nanomètre.

Références

B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Physique Statistique, Hermann, 1989.

(en) R.J. Hunter, Foundations of Colloid Science [« Bases de science des colloïdes »], Oxford University Press, 2^e éd., 2001.

Liens internes

Liens externes

Extrait sur la longueur de Debye d'une thèse

Catégorie :

Plasma

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