Loi de little

Loi de little

Théorie des files d'attente

La théorie des files d'attente est une théorie mathématique relevant du domaine des probabilités, qui étudie les solutions optimales de gestion des files d’attente, ou queues. Elle peut s’appliquer à différentes situations : gestion des avions au décollage ou à l’atterrissage, attente des clients et des administrés aux guichets, ou bien encore stockage des programmes informatiques avant leur traitement. Ce domaine de recherches, né en 1917, des travaux de l’ingénieur danois Erlang sur la gestion des réseaux téléphoniques, étudie notamment les systèmes d’arrivée dans une queue, les différentes priorités de chaque nouvel arrivant, ainsi que la modélisation statistique des temps d’exécution.

Sommaire

Loi de Little

la loi de Little dit que le nombre moyen <N> de clients dans un système stable, est égal à leur fréquence moyenne d'arrivée λ multipliée par leur temps moyen τ passé dans le système :

<N> = \lambda \cdot \tau

Notation de Kendall

Il existe, évidemment, de très nombreux systèmes de files d'attente. La notation de Kendall permet de décrire le système par une suite de 6 symboles a/s/C/K/m/Z. Voici la signification de ces symboles:

- a, indique la loi de probabilité des instants d'arrivées, on utilise les symboles suivants:

  • GI: loi générale indépendante
  • G: loi générale
  • M: loi exponentielle
  • Ek: loi Erlang-k
  • Hk: loi hyper-exponentielle d'ordre k
  • D: loi constante

- s, indique la loi de probabilité de la durée du service (au guichet), on utilise les mêmes symboles que précédemment

- C, indique le nombre de serveurs (nombre de guichets)

- K, c'est la capacité totale du système, c'est à dire le nombre de serveurs (C) + le nombre de places en attente

- m, indique la population totale de clients (par exemple: nombre d'inscrits sur une liste electorale dans le cas d'une file d"attente à un bureau de vote)

- Z, la discipline de service, à savoir:

  • paps: premier arrivé, premier servi (fifo ou fcfs en anglais)
  • daps: dernier arrivé, premier servi (lifo ou lcfs en anglais)
  • a: aléatoire (firo en anglais)
  • ...

Très souvent les trois derniers symboles de la notation sont omis. On a alors: K infini, m infini et Z en paps.

Quelques résultats

Avec:

  • λ = fréquence moyenne d'arrivées
  • \tfrac{1}{\mu} = temps moyen de service
  • A = \tfrac{\lambda}{\mu} = trafic offert (nombre moyen d'arrivées pendant le temps moyen de service)
File M/M/1 File M/M/S
Probabilité système vide (P0) 1 − A \frac{1}{\sum_{k=0}^{S-1} \frac{A^k}{k!} + \frac {A^S}{S!} \frac {1}{1-A/S} }
Probabilité d'attente (Pa) A P0 \cdot \frac{A^S}{(S-1)!(S-A)}
Nombre moyen de clients dans le système (<N>) \frac{A}{1 - A} A (1 + \frac{Pa}{S-A})
Nombre moyen de clients en attente (<Na>) \frac{A^2}{1-A} A \cdot \frac{Pa}{S-A}
Nombre moyen de clients en service (au guichet) (<Ns>) A A
Temps moyen de séjour dans le système (τ) \frac{1}{\mu} \cdot \frac{1}{1-A} \frac{1}{\mu} \cdot (1 + \frac{Pa}{S-A})
Temps moyen d'attente (τa) \frac{A}{\mu (1-A)} \frac{Pa}{\mu (S-A)}
Condition d'atteinte de l'équilibre ("pas d'engorgement") \frac{\lambda}{\mu} < 1 \frac{\lambda}{S\mu} < 1

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Th%C3%A9orie des files d%27attente ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi de little de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Loi De Little — Théorie des files d attente La théorie des files d attente est une théorie mathématique relevant du domaine des probabilités, qui étudie les solutions optimales de gestion des files d’attente, ou queues. Elle peut s’appliquer à différentes… …   Wikipédia en Français

  • Loi de Little — Théorie des files d attente La théorie des files d attente est une théorie mathématique relevant du domaine des probabilités, qui étudie les solutions optimales de gestion des files d’attente, ou queues. Elle peut s’appliquer à différentes… …   Wikipédia en Français

  • Little Saigon Boutique Hotel — (Хошимин,Вьетнам) Категория отеля: 2 звездочный отель Адрес: 36 Bis/2 Le Loi …   Каталог отелей

  • Loi de Castle-Hardy-Weinberg — Principe de Hardy Weinberg Le principe de Hardy Weinberg pour deux allèles : l axe horizontal indique les deux fréquences d allèle p et q, l axe vertical indique la fréquence des génotypes et les trois génotypes possibles sont représentés… …   Wikipédia en Français

  • Loi de Hardy-Weinberg — Principe de Hardy Weinberg Le principe de Hardy Weinberg pour deux allèles : l axe horizontal indique les deux fréquences d allèle p et q, l axe vertical indique la fréquence des génotypes et les trois génotypes possibles sont représentés… …   Wikipédia en Français

  • Loi du Seigneur — La Loi du Seigneur La Loi du Seigneur Titre original Friendly Persuasion Réalisation William Wyler Acteurs principaux Gary Cooper Dorothy McGuire Anthony Perkins Richard Eyer Robert Middleton Phyllis Love Peter Mark Richman Marjorie Main Scénario …   Wikipédia en Français

  • Little House on the Prairie — La Petite Maison dans la prairie Pour les articles homonymes, voir Little house. La Petite Maison dans la Prairie Titre original Little House on the Prairie Little House: A New Beginning Genre Série sentimentale Créateur(s) Michael Landon Pro …   Wikipédia en Français

  • Lê Lợi — (Hán tự: ; 1384 or 1385? ndash; 1433), posthumously known with the temple name Lê Thái Tổ (), was Emperor of Vietnam and founder of the Lê Dynasty. Lê Lợi is among the most famous figures from the medieval period of Vietnamese history and one of… …   Wikipedia

  • Liste de hors-la-loi dans le Far West — Article connexe : Hors la loi. Voici une liste de hors la loi célèbres de l Ouest américain. Opposés à la figure du marshal, garant de la loi à l échelle de la ville, ou du shérif, faisant autorité dans un comté, ils sont souvent devenus des …   Wikipédia en Français

  • La Loi Est La Loi — Titre original Jake and the Fatman Genre Série policière Créateur(s) Dean Hargrove Joel Steiger Musique Richard DeBenedictis, Greg Turner Pays d’origine …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”