Logicisme
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Le logicisme est la théorie selon laquelle les mathématiques sont une extension de la logique et donc que tous les concepts et théories mathématiques sont réductibles à la logique[1]. Si ce programme était réalisable, il pourrait soutenir le positivisme logique en particulier, et le réductionnisme en général[1].
Frege, Russell et Whitehead
Louis Couturat, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont soutenu cette théorie créée par Gottlob Frege. Gottlob Frege abandonna le projet après que Russell ait découvert un paradoxe mis en lumière par une contradiction dans la théorie naïve des ensembles. Russell et Whitehead continuèrent le projet dans leur ouvrage Principia Mathematica[2].
Le néo-logicisme
Bien que l'arithmétique ait été réduite par Cantor à la théorie des ensembles, la théorie des ensembles elle-même n'a jamais pu être dérivée de la logique pure[1]. Or, le théorème d'incomplétude de Gödel, découvert en 1931, a montré que tout système assez riche pour formaliser l'arithmétique contiendrait des vérités qui ne pourraient pas être démontrées à l'intérieur de ce système[1]. Cela mit donc fin au programme initial du logicisme[1].
Bien que l'ambition de ce projet réductionniste ait ainsi dû être revue à la baisse, la majeure partie des mathématiques modernes continue aujourd'hui à être pensée par de nombreux mathématiciens et logiciens comme étant réductible à une logique qui se baserait sur l'axiome de la théorie de Zermelo-Fraenkel, laquelle ne présente pas, pour le moment, de contradictions connues. Il y a ainsi un néo-logicisme, qui se fonde en particulier sur le dit « principe de Hume », et défendu en particulier par Crispin Wright et Bob Hale.
Notes et références
Voir aussi
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2010.
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