Formule De Stirling

Formule De Stirling

Formule de Stirling

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La formule de Stirling, du nom du mathématicien James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini réel (quand n tend vers l'infini) :

\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1

que l'on trouve souvent écrit ainsi :

n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n

Sommaire

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La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler.

Histoire

La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre sous la forme

n\,!\sim C\; n^{n+1/2}\, \mathrm{e}^{-n},
C est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling[1] fut de donner un développement de ln(n!) à tout ordre et d'attribuer la valeur C = \sqrt{2\pi} à la constante. La démonstration classique de ceci est donné dans l'article intégrales de Wallis.


Généralisation

On peut améliorer la qualité de l'approximation de Stirling en utilisant le développement asymptotique de la fonction gamma Γ ; on trouve :

n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^6} \right) \right]

En fait, Abraham de Moivre généralisa le résultat de Stirling sous la forme

 \ln [n!] = (n+\frac12)\ln(n)-n + \ln(2\pi)+\sum_{k\ge 1}\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}},

où les nombres B2k sont les nombres de Bernoulli. Écrite sous la forme

 n ! = \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n} e^{\mu(n)},

on trouve la formule (et la fonction) de Binet.

La formule d'Euler-MacLaurin permet d'aboutir au résultat à l'ordre que l'on veut.

(Sloane's A001163 and A001164).

Calculs numériques

Notes et références

  1. Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, (1730), proposition 28, p.135
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