Fonction étagée

Fonction étagée

En mathématiques et en analyse :

Dans les trois acceptations, chacune de ces fonctions peut s’exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques.

Ces fonctions jouent un rôle important en théorie de l'intégration :

Sommaire

Propriété caractéristique commune

Propriété — Une fonction est simple si et seulement si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

Pour les fonctions simples (respectivement étagée, en escalier), les propriétés suivantes découlent de la définition et de la propriété précédente :

  • La somme, le produit de deux fonctions simples, le produit d'une fonction simple par un réel (ou un complexe), sont encore des fonctions simples.
  • Une fonction simple est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de la forme
f(x)=\sum_{k=1}^n a_k \ {\mathbf 1}_{A_k}(x)
A_1, ..., A_n \ est une suite finie d'ensembles et a_1, ..., a_n \ est une suite finie de valeurs dans \R (ou \C).
  • Parmi les diverses représentations possibles exprimées à l’aide de la relation précédente, il en existe une particulière (qualifiée de canonique) pour laquelle[1]
    • les ensembles Ak sont 2 à 2 disjoints,
    • les valeurs ak sont distinctes,
    • n = 0 si et seulement si f = 0.
  • Pour une fonction étagée, donc mesurable et définie sur un espace mesurable (X, {\mathcal A},\mu), les ensembles Ak de la représentation canonique sont mesurables.

Densité des fonctions étagées

Théorème — 

  1. L'ensemble des fonctions étagées est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables : toute fonction mesurable est une limite simple de fonctions étagées.
  2. Toute fonction mesurable et bornée est une limite uniforme de fonctions étagées.

Intégration d'une fonction étagée

En théorie de la mesure, définir l'intégrale d'une fonction étagée est l’une des premières étapes conduisant à la définition de l'intégrale par rapport à une mesure.

Soit une mesure μ définie sur un espace mesurable (X, {\mathcal A}). Pour tout A \in \mathcal{A}\ , on définit

\int \,\chi_A\,d\mu = \mu(A).

Pour une fonction étagée f(x) = \sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x), la linéarité de l'intégrale impose la relation suivante :

\int\,f\,d\mu=\sum_{k=1}^na_k \ \mu(A_k).

Pour accorder à cette relation le statut de définition, il convient de s’assurer de sa consistance en vérifiant que l’intégrale d’une fonction étagée est indépendante de sa représentation sous forme de combinaison linéaire de fonctions caractéristiques[2].

Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment

Les fonctions étagées sont à la théorie de l'intégration de Lebesgue ce que les fonctions en escalier sont à l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock.

Par exemple, dans le cas particulier où \scriptstyle\ A_1,....,A_n sont des intervalles contigus de même longueur Δ, et où les \scriptstyle\ a_i sont les évaluations d'une fonction \scriptstyle\ g au centre des intervalles \scriptstyle\ A_i, l'expression \scriptstyle\ I_n = \Delta \sum_{i=1}^n a_i\ est appelée somme de Riemann[3].

Généralement présentées sur un intervalle donné, les fonctions en escaliers peuvent être prolongées par 0 sur \R entier, ce qui permet de s’affranchir de l’intervalle et de considérer un unique ensemble de fonctions.

Notes (et références)

  1. Pour une fonction en escalier, les ensembles Ak sont l’union d’un nombre fini d’intervalles.
  2. Certains auteurs définissent les fonction étagées comme étant celles dont les ensembles caractéristiques sont disjoints (comme les fonctions en escalier) : la propriété précédente est plus simple à vérifier, mais plus complexe est la preuve qu’elles forment un espace vectoriel.
  3. \scriptstyle\ I_n est d’ailleurs une approximation (trop) couramment utilisée pour le calcul numérique d'une intégrale.

Voir aussi


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