Fonction analytique

Fonction analytique

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout x0 de ce domaine, il existe une suite (an) donnant une expression de la fonction, valable pour tout x assez proche de x0, sous la forme d'une série convergente :

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n.

Toute fonction analytique est dérivable de dérivée analytique, ce qui implique que toute fonction analytique est infiniment dérivable, mais la réciproque est fausse en analyse réelle. En revanche, en analyse complexe, toute fonction simplement dérivable est analytique et vérifie de nombreuses autres propriétés.

Article détaillé : Fonction holomorphe.

Qu'elle soit de variable réelle ou complexe, une fonction analytique non nulle a ses zéros isolés. Cette propriété induit l'unicité[1] du prolongement analytique sur tout ouvert connexe.

Sommaire

Définition

Soit f : U \to \mathbb{C} \, une fonction à variable complexe, où U \, est un ouvert de \mathbb{C} \,. On dit que la fonction f \,est analytique sur U \, si pour tout a \in U \,, il existe une suite (a_{n}) \, de nombres complexes et un réel r>0 \, tel que, pour tout z \in D(a,r) \,, c'est-à-dire pour tout z \, dans le disque (ouvert) de centre a \, et de rayon r \,, supposé inclus dans U \,, on a :

  • f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty}a_{n}\,(z-a)^{n}

Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition.

Propriétés

  • Une fonction analytique est holomorphe. Il existe d'ailleurs une réciproque à cette proposition, à savoir que toute fonction holomorphe sur un ouvert est analytique sur celui-ci.
  • De plus, une fonction analytique est infiniment dérivable (au sens complexe, voir fonction holomorphe) et la dérivée n-ième en un point a \in U \, est f^{(n)}(a)=n\,!\,a_{n} \, avec les notations données dans la définition. Ceci prouve que le développement de f en série entière au voisinage de chaque point a de U est unique ; on l'appelle encore développement en série de Taylor.
  • L'ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert est une algèbre: le produit par une constante d'une fonction analytique, la somme et le produit de fonctions analytiques sont analytiques.
  • Lorsqu'elle est définie, la composée de fonctions analytiques est analytique.
  • Toute série entière de rayon de convergence non nul définit sur son disque de convergence une fonction analytique. Ce n'est pas trivial, car une série entière est a priori un développement au voisinage d'un seul point.
  • Toute fonction polynomiale est analytique sur \mathbb{C} : on dit qu'elle est entière. Étant donnée une fonction polynomiale, les termes de son développement en série entière au voisinage d'un point quelconque de \mathbb{C} sont tous nuls à partir d'un certain rang d + 1d est le degré du polynôme. On obtient son développement en un point z0 à partir de son développement en un autre point à l'aide de la formule du binôme de Newton: P(z)=\sum_{n=0}^da_n z^n = \sum_{k=0}^db_k (z-z_0)^k avec b_k=\sum_{n=k}^da_n{n \choose k}z_0^{n-k}.

Exemples et contre-exemples

  • La fonction exponentielle donnée par \exp(z)= \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!} est analytique sur \mathbb{C} : c'est une fonction entière.
  • La fonction f : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}, z \mapsto z^{-1} est analytique sur  \mathbb{C}^*.
  • La fonction \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2 = z \overline{z} n'est pas analytique : on montre qu'elle n'admet de dérivée (au sens complexe) qu'en 0.
  • La fonction \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto \mathrm{Re}(z) = \frac{1}{2}\left(z + \overline{z} \right) n'est pas analytique : elle n'admet de dérivée (au sens complexe) en aucun point de \mathbb{C}.

Les deux dernières fonctions admettent cependant des dérivées partielles de tous ordres (elles sont de classe \mathrm{C}^\infty en tant que fonctions de deux variables réelles). Elles ne sont pas analytiques car l'ensemble des points où elles vérifient les équations de Cauchy-Riemann est d'intérieur vide (il est réduit à {0} pour la première, et vide pour la seconde).

  • La fonction \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^{-1/x^2} pour  x\ne 0 et 0\mapsto 0 n'est pas analytique en 0 (bien qu'elle soit de classe \mathrm{C}^\infty sur \mathbb{R}) ; elle possède en effet en 0 une série de Taylor identiquement nulle, et qui ne converge donc vers la fonction qu'en ce point. On trouvera d'autres contre-exemples réels à l'article série de Taylor.

Les principaux théorèmes

Le principe des zéros isolés

On considère maintenant un ouvert connexe U \subset \mathbb{C} et une fonction analytique f : U \to \mathbb{C} \,. Si  f \, n'est pas la fonction nulle, alors tous ses zéros sont isolés, c'est-à-dire que si a \in U \, est tel que f(a) = 0, alors il existe un disque centré en a \, , inclus dans \ U, tel que  f \, ne s'annule en aucun autre point que a \, sur ce disque ; ceci se traduit par :

  •  \exists r >0 , D(a,r) \subset U et  \forall z \in D(a,r)\setminus \{a\}, f(z) \neq 0

Ainsi, toute fonction f : U \to \mathbb{C} \, non constante (ie. \exists (\alpha,\beta)\in U^2\ \alpha\neq\beta\ et\ f(\alpha) \neq f(\beta)), n'est constante en aucun point (ie. dans aucune direction à partir de ce point), ce qui se traduit par :

  •  \forall a \in U\ \exists r >0 , D(a,r) \subset U et  \forall z \in D(a,r)\setminus \{a\}, f(z) \neq f(a)

On en déduit qu'aucune fonction analytique f : U \to \mathbb{C} \, non constante ne peut avoir son image f(U)\, contenue dans un espace vectoriel réel de dimension 1 (en particulier, f(U) \not\subset \mathbb{R}). En effet, comme f\, est continue car analytique, il devrait y avoir existence de courbes de niveau, et le résultat ci-dessus l'interdit, d'où ce dernier corollaire.

Le principe du prolongement analytique

Article détaillé : prolongement analytique.

Soient U \subset \mathbb{C} un ouvert, a un point de U et une fonction analytique f : U \to \mathbb{C}. On suppose en outre que U est connexe (cette hypothèse est essentielle). Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes :

  1. f est identiquement nulle sur U
  2. f est identiquement nulle dans un voisinage de a
  3. \forall n \in \N,\ f^{(n)}(a)=0

Ce théorème signifie que si une fonction analytique sur un ouvert connexe s'annule sur un disque de rayon si petit soit-il, alors c'est la fonction nulle. On peut interpréter cela comme un résultat d'unicité pour la théorie du prolongement analytique.

Un corollaire de ce théorème nous dit que si deux fonctions analytiques coïncident sur un voisinage d'un point d'un ouvert connexe, alors ces deux fonctions sont égales sur tout cet ouvert.

Mathématiciens ayant travaillé sur le sujet

Notes et références

  1. Mais il n'y a pas forcément existence d'un tel prolongement analytique à tout ouvert connexe.

Voir aussi

Bibliographie

  • « Fonctions analytiques », Dictionnaire des mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1997.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction analytique de Wikipédia en français (auteurs)

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