Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles

Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles

En géometrie, le théorème japonais pour les quadrilatères dit que les centres des cercles inscrits des triangles d'un quadrilatère inscriptible sont les sommets d'un rectangle.

En traçant les diagonales du quadrilatère, on obtient quatre triangles (chaque diagonale crée deux triangles). Les centres des cercles inscrits dans ces triangles forment un rectangle.

Japanese theorem 2.svg

Sommaire

Énoncé

Soit ABCD un quadrilatère inscriptible quelconque et soient M1,M2,M3,M4 les centres des cercles inscrits dans les triangles ABD,ABC,BCD,ACD. Alors le quadrilatère M1,M2,M3,M4est un rectangle.

Principe de la démonstration
La démonstration s'appuie sur deux propriétés sur les angles
  • Dans un triangle ABC dont le centre du cercle inscrit est O, l'angle BOC est égal à la moitié de l'angle BAC augmenté d'un angle droit,
  • La propriété des angles inscrits pour des points cocycliques
On démontre alors que les points ABM1M2 sont cocycliques, ainsi que queADM1M4, etc. On prouve alors que l'angle M2M1M4 est droit en l'écrivant à l'aide des anglesM2M1A et M4M1A
Prolongement
Ce théorème est une étape dans la démonstration d'un théorème plus général , concernant les rayons des cercles inscrits, le théorème japonais qui stipule dans le cadre de ce quadrilatère, que la somme des rayons des cercles inscrits de centre M1et M3 est égale à la somme des rayons des cercles inscrits de centres M2 et M4. Pour prouver le cas des quadrilatères inscriptibles, il faut construire le parallélogramme dont les côtés passent par les sommets du rectangle tout en étant parallèles aux diagonales du quadrilatère. On démontre alors que le parallélogramme obtenu est un losange, en se servant des angles alternes-internes et de la cyclicité des points ABM1M2, etc. Les distances entre les côtés opposés de ce losange sont donc égales, ce qui revient à dire que la somme des rayons des cercles inscrits tangents à chaque diagonale sont égaux.
Le cas du quadrilatère prouve immédiatement le cas général par la triangulation d'un polygone.

Voir aussi

Références


Liens externes



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème japonais — En géometrie, le théorème japonais dit que quelle que soit la manière dont on triangule un polygone inscriptible, la somme des rayons des cercles inscrits dans ces triangles est constante …   Wikipédia en Français

  • Quadrilatère inscriptible — Quadrilatères inscriptibles En géométrie, un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le cercle est dit circonscrit au quadrilatère. Dans un… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”