Sinus integral

Sinus integral

Sinus intégral

La fonction sinus intégral, notée Si, est une fonction spéciale de la physique mathématique introduite par Fresnel dans l'étude des vibrations lumineuses, est définie par

\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}(x) = \int_{0} ^{x} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t.

Propriétés

  • La fonction est continue, infiniment dérivable sur \mathbb{R}, et
\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}'(x) = \frac{\sin(x)}{x} = \mathrm{sinc}(x)

où sinc est la fonction sinus cardinal.

  • La fonction Si est développable en série entière sur \mathbb{R}, et on a
\forall x \in \mathbb{R},\ \mathrm{Si}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}


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