Matrice diagonale

Matrice diagonale

En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di,j) est diagonale si :

\forall(i,j)\ \ i \ne j,\ \ d_{i,j} = 0

Exemple :

\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 4 \end{pmatrix}

On remarque qu'une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale.

Toute matrice diagonale est aussi une matrice symétrique, une matrice normale et une matrice triangulaire. La matrice identité In est diagonale.

Sommaire

Utilisations

Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation.

Une matrice presque diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin.

Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées.


Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive.

Notation

Comme seuls les éléments de la diagonale peuvent être non nuls, une notation courante des matrices diagonales est la suivante.

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_k) = \begin{pmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_k
\end{pmatrix}

Multiplication

Les matrices diagonales forment une sous-algèbre commutative de \mathcal{M}_n(K).

En d'autres termes, si les matrices D = diag(di) et E = diag(ei) sont diagonales, alors :

  • λD + μE = F est une matrice diagonale
  • DE = ED = G est une matrice diagonale

avec (\lambda,\mu) \in K^2 \ \ F = \mathrm{diag}(\lambda d_i + \mu e_i) et G = diag(diei)

Ainsi les matrices diagonales peuvent simplement être multipliées coefficients par coefficients, parce que les zéros en dehors de la diagonale annulent les autres termes dans la formule de multiplication.

Une conséquence de cela est qu'élever une matrice diagonale A à une certaine puissance revient à élever les coefficients de la diagonale de A à cette puissance :

D^k = \mathrm{diag}( d_{i,j} )^k = \mathrm{diag}( d_{i,j}^k )

Inversion

Une matrice diagonale d'éléments diagonaux tous non nuls est toujours inversible, et l'opération est immédiate. En effet, si

A=\mathrm{diag}(a_1, a_2, ..., a_k)=\begin{pmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_k
\end{pmatrix}

alors

A^{-1} = \begin{pmatrix}
1/a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & 1/a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & 1/a_k
\end{pmatrix}

On vérifie bien que

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}
1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & 1    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & 1
\end{pmatrix}=I_k

soit la matrice identité.

Matrice scalaire

Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux[1].

Si K est un corps commutatif, le centre du groupe linéaire GL(n, K) est formé des matrices scalaires non nulles à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K[2].

Notes et références

  1. N. Bourbaki, Algèbre, ch. 2, Paris, 1970, p. II.151.
  2. Voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, tirage de 1999, théorème 8.9, p. 222.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice diagonale de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Matrice Diagonale — En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di,j) est diagonale… …   Wikipédia en Français

  • Matrice diagonale — ● Matrice diagonale matrice carrée dont tous les éléments extérieurs à la diagonale principale sont nuls …   Encyclopédie Universelle

  • matrice diagonale — diagonalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. diagonal matrix vok. Diagonalmatrix, f rus. диагональная матрица, f pranc. matrice diagonale, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Matrice Diagonalisable — En algèbre linéaire, une matrice carrée M d ordre n ( ) à coefficients dans un corps commutatif K, est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c est à dire s il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D …   Wikipédia en Français

  • Matrice scalaire — Matrice diagonale En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di …   Wikipédia en Français

  • Matrice par blocs — Matrice par bloc En théorie des matrices, une matrice par bloc ou matrice partitionnée est une matrice pouvant être divisée en matrices rectangulaires de dimensions inférieures appelées blocs. On peut dire également que la matrice est écrite en… …   Wikipédia en Français

  • Matrice (algèbre) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice (mathematiques) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Matrice carrée — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire …   Wikipédia en Français

  • Diagonale Principale — En algèbre linéaire, la diagonale principale d une matrice est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carré d ordre 3, qui suit a des 1 sur sa diagonale principale: Il s agit en… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”