Inverse modulaire

Inverse modulaire

En mathématiques et plus précisément en Arithmétique modulaire, l'inverse modulaire d'un entier a pour la multiplication modulo m est défini de la manière suivante:

a^{-1} \equiv x \pmod{m}.

L'entier a admet un inverse (ici x) modulo m si et seulement si a et m sont premiers entre eux (i.e. pgcd(a,m)=1). On peut alors trouver un entier x tel que:

ax \equiv 1 \pmod{m}.

Il peut se calculer grâce à l'algorithme d'Euclide étendu qui trouve la solution à l'identité de Bézout au + mv = pgcd(a,m) = 1. En effet, d'après la définition de l'inverse modulo m, on a:

ax - 1 \equiv 0 \pmod{m}.

donc:

ax − 1 = qm ( car m divise ax-1 )
axqm = 1

Par substitution, on voit immédiatement que u=x et v=-q. u est l'inverse de a pour la multiplication modulo m.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inverse modulaire de Wikipédia en français (auteurs)

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