Algorithme de Prim

Algorithme de Prim
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Prim.
Arbre couvrant de poids minimum

L'algorithme de Prim est un algorithme glouton qui permet de trouver un arbre couvrant minimal dans un graphe connexe valué et non-orienté. En d'autres termes, cet algorithme trouve un sous-ensemble d'arêtes formant un arbre sur l'ensemble des sommets du graphe initial, et tel que la somme des poids de ces arêtes soit minimale. Si le graphe n'est pas connexe, alors l'algorithme ne déterminera l'arbre couvrant minimal que d'une composante connexe du graphe. Il a été conçu en 1957 par Robert Prim.

Sommaire

Principe

L'algorithme consiste à choisir arbitrairement un sommet et à faire croître un arbre à partir de ce sommet. Chaque augmentation se fait de la manière la plus économique possible.

Algorithme

Procédure PRIM
 Paramètres locaux : entier s, graphe G
 Paramètres globaux : graphe T
 Variables : 
  entier i, m, y
  réel : v
  ensemble : M
  TvectNent : pp
  TvectNReel : d 
Début 
1  T ← graphe_vide
2  M ← ensemble_vide
3  Pour i ← 0 jusqu'à N Faire
4    d[i] ←coût(s, i, G)
5    pp[i] ← s 
6    M ← Ajouter (i,M)
7  Fin pour
8  M ← Supprimer (s,M)
9  Tant que M <> Ensemble_vide Faire
10   m ← Choisir (M,d)
11   M ← Supprimer (m,M)
12   z ← pp[m]
13   v ← coût (m,z,G)
14   T ← Ajout arête <m,z> de coût v à T
15   Pour i ← 1 jusqu'à d° m dans G Faire
16     y ← i ième_succ_de m dans G
17     Si y \in M et (cout(m,y,G) < d[y]) alors
18       d[y] ← coût(m,y,G)
19       pp[y] ← m
20     Fin Si
21   Fin Pour
22 Fin Tant que
Fin algo

(Attention, le principe suivant diffère de l'implémentation proposée).

L'étape d'initialisation consiste à choisir un sommet quelconque du graphe initial. Au bout de la première étape, on se retrouve ainsi avec un arbre contenant 1 sommet et 0 arête. Ensuite, on construit récursivement l'arbre minimal de la façon suivante : à l'étape n, ayant déjà construit un arbre contenant n sommets et n-1 arêtes, on établit la liste de toutes les arêtes reliant un sommet de l'arbre à un sommet qui n'est pas sur l'arbre. On choisit alors une arête de poids minimal, que l'on rajoute à l'arbre ; l'arbre contient à présent n+1 sommets et n arêtes. L'algorithme se termine lorsque tous les sommets du graphe sont contenus dans l'arbre.

La complexité de l'algorithme dépend fortement de la manière dont est implémenté le choix de l'arête/sommet à ajouter dans l'ensemble à chaque étape. Avec une représentation naïve, on obtient une complexité en O(A * S) avec A le nombre d'arêtes et S le nombre de sommets. Si l'on utilise un tas min binaire, la complexité devient alors O(A * lgS). En utilisant un tas de Fibonacci, on peut encore descendre à O(A + S * lgS).

Références

J.-F. Hêche, ROSO-EPFL, Cours SC de recherche opérationnelle : Quelques problèmes classiques en théorie des graphes

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein : Introduction à l'algorithmique

Liens internes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algorithme de Prim de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Algorithme De Prim — Arbre couvrant de poids minimum L algorithme de Prim est un algorithme glouton déterminant un arbre couvrant minimal d un graphe connexe valué et non orienté. C est à dire qu il trouve un sous ensemble d arêtes formant un arbre incluant tous les… …   Wikipédia en Français

  • Algorithme de prim — Arbre couvrant de poids minimum L algorithme de Prim est un algorithme glouton déterminant un arbre couvrant minimal d un graphe connexe valué et non orienté. C est à dire qu il trouve un sous ensemble d arêtes formant un arbre incluant tous les… …   Wikipédia en Français

  • Algorithme Glouton — Un algorithme glouton est un algorithme qui suit le principe de faire, étape par étape, un choix optimum local, dans l espoir d obtenir un résultat optimum global. Par exemple, dans le problème du rendu de monnaie (donner une somme avec le moins… …   Wikipédia en Français

  • Algorithme De Kruskal — Arbre couvrant de poids minimum L algorithme de Kruskal est un algorithme de recherche d arbre recouvrant de poids minimum (ARPM) ou arbre couvrant minimum (ACM) dans un graphe connexe valué et non orienté. Sommaire …   Wikipédia en Français

  • Algorithme de kruskal — Arbre couvrant de poids minimum L algorithme de Kruskal est un algorithme de recherche d arbre recouvrant de poids minimum (ARPM) ou arbre couvrant minimum (ACM) dans un graphe connexe valué et non orienté. Sommaire …   Wikipédia en Français

  • Algorithme glouton — Un algorithme glouton est un algorithme qui suit le principe de faire, étape par étape, un choix optimum local, dans l espoir d obtenir un résultat optimum global. Par exemple, dans le problème du rendu de monnaie (donner une somme avec le moins… …   Wikipédia en Français

  • Prim —  Cette page d’homonymie répertorie des personnes (réelles ou fictives) partageant un même patronyme. Joan Prim (1814 1870), homme politique et général espagnol ; Robert C. Prim (né en 1921), mathématicien et informaticien… …   Wikipédia en Français

  • Algorithme de Kruskal — Arbre couvrant de poids minimum L algorithme de Kruskal est un algorithme de recherche d arbre recouvrant de poids minimum (ARPM) ou arbre couvrant minimum (ACM) dans un graphe connexe valué et non orienté. Il a été conçu en 1956 par Joseph… …   Wikipédia en Français

  • Méthode gloutonne — Algorithme glouton Un algorithme glouton est un algorithme qui suit le principe de faire, étape par étape, un choix optimum local, dans l espoir d obtenir un résultat optimum global. Par exemple, dans le problème du rendu de monnaie (donner une… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”