Idéal différent

Idéal différent

Différente

En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques \mathbb{K}\,.

Si OK est l'anneau des entiers de \mathbb{K}\, et tr désigne la trace du corps de \mathbb{K}\, vers le corps de nombres rationnels \mathbb{Q}\,, alors

tr(xy)\,

est une forme quadratique entière sur OK. Son discriminant comme forme quadratique n'est pas forcément +1 (en fait ceci arrive seulement pour le cas \mathbb{K} = \mathbb{Q}\,. En définissant l'idéal fractionnaire I de \mathbb{K}\, comme l'ensemble des x \in \mathbb{K}\, tels que tr(xy) est un entier pour tout y dans OK, alors I contient OK. Par définition, l'idéal différent \delta_{\mathbb{K}}\, est I^{-1}\,, un idéal de OK.

La norme de \delta_{\mathbb{K}}\, est l'idéal de \mathbb{Z} engendré par le discriminant D_{\mathbb{K}}\, de \mathbb{K}\,.

La différente peut aussi être définie pour une extension de corps de nombres L/K (la différente relative) et pour les corps locaux. Elle joue un rôle dans la dualité de Pontryagin pour les corps p-adiques.

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