Groupe ax + b
- Groupe ax + b
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En mathématiques, le groupe a x + b est un groupe défini par :
- les éléments de G sont les couples de réels (a,b) avec a non nul
- la loi de composition interne est :
- (a,b)(a',b') = (aa',ab' + b)
Il est alors facile de voir que (1,0) est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de (a,b) est (1 / a, − b / a).
Ce groupe peut également se représenter comme :
- le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
- le sous groupe du groupe linéaire GL2(ℝ) constitué des éléments de la forme :
Propriétés
Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.
Une mesure de Haar à gauche est 
. Une mesure de Haar à droite est 
.
Nous obtenons donc une fonction modulaire :
Références
- Y. Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries, Éditions de l'École Polytechnique, 2005
- Pierre Eymard et Marianne Terp, « La transformation de Fourier et son inverse sur le groupe des ax+b d'un corps local » in Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie II, Springer, 1979
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe ax + b de Wikipédia en français (auteurs)
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