Formule de conjugaison de Descartes

Formule de conjugaison de Descartes

Relation de conjugaison

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En optique, une relation de conjugaison est une formule mathématique reliant la position d'un objet à celle de son image par un système optique. Elle tire son nom du fait qu'en optique géométrique, dans les conditions de stigmatisme, lorsque tous les rayons issus d'un point objet émergent en sortie du système en un point unique, ce point est appelé image conjuguée du point objet. On dit aussi alors que les deux point sont conjugués.

En termes mathématiques, la relation de conjugaison est une classe d'équivalence, telle que deux éléments d'un corps fini K sont dits conjugués si et seulement s'ils possèdent le même polynôme irréductible[1].

Sommaire

Dioptre sphérique

Dans l'approximation des petits angles, on obtient la relation de conjugaison suivante pour les dioptres sphériques qu'ils soient concaves ou convexes : \frac{n_2}{\overline{SA'}}- \frac{n_1}{\overline{SA}}=\frac{n_2-n_1}{\overline{SC}}

avec:

n1 l'indice de réfraction du milieu ambiant.

n2 l'indice de réfraction du dioptre.

Lentilles sphériques minces

L'approximation de Gauss appliquées aux lentilles minces sphériques permet l'obtention de deux relations de conjugaison.

Relation de Descartes

Exemple de positions d'objet et d'image pour une lentille mince convergente dans les conditions de Gauss.

La formule de conjugaison de Descartes est une relation de conjugaison avec origine aux points principaux du système. Pour les lentilles minces, dont les points principaux sont confondus en un point appelé centre optique (noté O), on parle de formule avec origine au centre. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

\frac{1}{\overline{OA'}}- \frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}

Dans le cas d'une lentille convergente, on a |\overline{OF'}|=f' et dans le cas d'une lentille divergente, -|\overline{OF'}|=f'

Relation de Newton

Il s'agit d'une relation de conjugaison avec origine aux foyers du système.

La formule de conjugaison de Newton (ou formule de conjugaison avec origine aux foyers du système) donne une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport aux foyers F et F'. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par le système de foyers objet F et image F':

{\overline{F'A'}}. {\overline{FA}}=-f'^2

Miroirs sphériques

Lois de Descartes

Relations de conjugaison

Avec origine au sommet :

Pour tout point A sur l'axe du miroir dont l'image est A' (qui est aussi sur l'axe) on peut écrire la relation de conjugaison suivante : \frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}

On rappelle que \overline{SA'} est la mesure algébrique de SA'.

Avec origine au centre :

Pour tout point A sur l'axe du miroir dont l'image est A' (qui est aussi sur l'axe) on peut écrire la relation de conjugaison suivante : \frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}}

Grandissement

Dans le cas du miroir sphérique on obtient : γ = \frac{ \overline{A'B'}}{\overline{AB}} = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} = \frac{\overline{CA'}}{\overline{CA}}

où S est le sommet du miroir (ie son intersection avec l'axe)

Formules de Newton

On considère un point A sur l'axe du miroir et son image A'. Alors \overline{FA} x \overline{F'A'} = f.f'

D'où : γ = \frac{\overline{F'A'}}{-f'} = \frac{-f}{\overline{FA}}

Notes et références

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