Figures de Brocard

Figures de Brocard

Les figures de Brocard tirent leur nom du mathématicien français Henri Brocard. En réalité, elles ont été trouvées par Grelle en 1884.

Sommaire

Points de Brocard

Premier point de Brocard

Brocard1.png
  • Tracer un triangle ABC
  • Tracer le cercle passant par A et B et tangent à (CB)
  • Tracer le cercle passant par B et C et tangent à (CA)
  • Tracer le cercle passant par C et A et tangent à (BA)

Ces trois cercles sont sécants en un point β dit premier point de Brocard du triangle ABC (sur la figure ci-dessus, c'est le point concourant des trois cercles bleus).

Second point de Brocard

Brocard2.png
  • Tracer un triangle ABC
  • Tracer le cercle passant par A et B et tangent à (CA)
  • Tracer le cercle passant par B et C et tangent à (BA)
  • Tracer le cercle passant par C et A et tangent à (BC)

Ces trois cercles sont sécants en un point β' dit second point de Brocard du triangle ABC (sur la figure ci-dessus, c'est le point concourant des trois cercles rouges).

Angle de Brocard du triangle

Brocard.png

Les segments joignant les points β et β' aux sommets du triangle constituent des isogonales particulières du triangle ABC. Leur propriété remarquable est de définir toujours le même angle ω, dit angle de Brocard du triangle.

\omega = \widehat {\beta AB} = \widehat {\beta BC} = \widehat {\beta CA} = \widehat {\beta 'CA} = \widehat {\beta 'BA} = \widehat {\beta 'BC}

Formules pour l'angle de Brocard

Si AΔ est l'aire du triangle ABC, on peut calculer l'angle de Brocard à l'aide d'une des formules suivantes :

  • \tan \omega = \frac {4\;A_\Delta}{a^2+b^2+c^2}
  • \cot\omega = \cot \widehat {BAC} + \cot \widehat {ABC} + \cot \widehat {ACB},
  • \sin \omega = \frac{2A_\Delta}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}

Pour cet angle on a : \omega \leq 30^o.

Voir aussi


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