Elements d'analyse

Les Eléments d'analyse sont une série de 9 volumes écrits par le mathématicien français Jean Dieudonné. À l'origine, seul le premier volume, Foundations of Modern Analysis, publié en 1960, était prévu. J. Dieudonné l'écrit suite à une série de cours dispensés à l'université du Michigan. Dans ce premier volume, l'auteur souhaite présenter les connaissances minimales en analyse que doit acquérir un étudiant en mathématiques ou en physique.

Plus tard, ce premier tome sera traduit en français sous le titre Fondements de l'Analyse moderne. Dieudonné y ajoutera 8 volumes supplémentaires écrits directement en français.

Sommaire 1 Plan de l'ouvrage 1.1 Tome I : Fondements de l'Analyse moderne 1.2 Tome II 1.3 Tome III 1.4 Tome IV 1.5 Tome V : Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples 1.6 Tome VI : Analyse harmonique 1.7 Tome VII : Équations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels 1.8 Tome VIII : Tome VIII, Equations fonctionnelles lilnéaires, Deuxième partie : problèmes aux limites 1.9 Tome IX : Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire

Plan de l'ouvrage

Tome I : Fondements de l'Analyse moderne

I - Éléments de la théorie des ensembles.
II - Nombres réels.
III - Espaces métriques.
IV - Propriétés particulières à la droite réelle.
V - Espaces normés.
VI - Espaces de Hilbert.
VII - Espaces de fonctions continues.
VIII - Calcul différentiel.
IX - Fonctions analytiques.
Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane.
X - Théorèmes d'existence.
XI - Théorie spectrale élémentaire.
Annexe - Éléments d'algèbre linéaire.
BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome II

XII - Compléments de topologie et d'algèbre topologique.

1. Espaces topologiques. 2. Notions topologiques. 3. Espaces séparés. 4. Espaces uniformisables. 5. Produits d'espaces uniformisables. 6. Recouvrements localement finis et partitions de l'unité. 7. Fonctions semi-continues. 8. Groupes topologiques. 9. Groupes métrisables. 10. Espaces à opérateurs et espaces d'orbites. 11. Espaces homogènes. 12. Groupes quotients. 13. Espaces vectoriels topologiques. 14. Espaces localement convexes. 15. Topologies faibles. 16. Le théorème de Baire et ses conséquences.

XIII - Intégration.

1. Définition d'une mesure. 2. Mesures réelles. 3. Mesures positives. Valeur absolue d'une mesure. 4. Topologie vague. 5. Intégrales supérieure et inférieure par rapport à une mesure positive. 6. Fonctions et ensembles négligeables. Fonctions et ensembles intégrables. 7. Les théorèmes de convergence de Lebesgue. 8. Fonctions mesurables. 9. Intégrales de fonctions vectorielles. 10. Les espaces L¹ et L². 11. Intégration par rapport à une mesure positive. 12. Le théorème de Lebesgue-Nikodym. 13. Applications : I. Intégration par rapport à une mesure complexe. 14. Applications : II. Dual de L¹. 15. Décompositions canoniques d'une mesure. 16. Support d'une mesure. Mesures à support compact. 17. Mesures bornées. 18. Produit de mesures.

XIV - Intégration dans les groupes localement compacts.

1. Existence et unicité d'une mesure de Haar. 2. Cas particuliers et exemples. 3. Fonction module sur un groupe ; module d'un automorphisme. 4. Mesure de Haar sur un groupe quotient. 5. Convolution de mesures sur un groupe localement compact. 6. Exemples et cas particuliers de convolutions de mesures. 7. Propriétés algébriques de la convolution. 8. Convolution d'une mesure et d'une fonction. 9. Exemples de convolutions de mesures et de fonctions. 10. Convolution de deux fonctions. 11. Régularisation.

XV - Algèbres normées et théorie spectrale.

Tome III

XVI -Variétés différentielles.
XVII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
I. Distributions et opérateurs différentiels.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome IV

XVIII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
II.Théorie globale élémentaire des équations différentielles du premier et du second ordre.
Théorie locale élémentaire des systèmes différentiels.
XIX - Groupe de Lie et algèbres de Lie.
XX - Connexions principales et géométrie riemannienne.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome V : Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples

XXI -Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples.
Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
BIBLIOGRAPHIE
INDEX

Tome VI : Analyse harmonique

XXII - Analyse harmonique.

1. Fonctions continues de type positif. 2. Mesures de type positif. 3. Représentations induites. 4. Représentations induites et restrictions de représentations à des sous-groupes. 5. Traces partielles et représentations induites dans les groupes compacts. 6. Groupes de Gelfand et fonctions sphériques. 7. Transformation de Plancherel et transformation de Fourier. 8. Les espaces P(G) et P'(Z). 9. Fonctions sphériques de type positif et représentations irréductibles. 10. Analyse harmonique commutative et dualité de Pontrjagin. 11. Dual d'un sous-groupe et d'un groupe quotient. 12. Formule de Poisson. 13. Dual d'un produit. 14. Exemples de dualité. 15. Représentations unitaires continues des groupes commutatifs localement compacts. 16. Fonctions déclinantes sur Rⁿ. 17. Distributions tempérées. 18. Convolution des distributions tempérées et théorème de Paley-Wiener. 19. Distributions périodiques et séries de Fourier. 20. Les espaces de Sobolev.

Tome VII : Équations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels

Tome VIII : Tome VIII, Equations fonctionnelles lilnéaires, Deuxième partie : problèmes aux limites

Tome IX : Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire

• Portail des mathématiques