Dérivées de Dini

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Les dérivées de Dini sont quatre nombres introduits par le mathématicien Ulisse Dini pour généraliser la notion de dérivée d'une fonction lorsque celle-ci n'est pas dérivable.

Sommaire

Définition

Soit f une fonction d'un intervalle I ouvert de \mathbb R, à valeurs réelles, et soit x un point de I. Les quatre dérivées de Dini sont respectivement les limites inférieure et supérieure du taux d'accroissement à gauche et à droite de f :

Dérivée à droite supérieure : f'_{+d}(t)=\limsup_{h \to 0, h>0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Dérivée à droite inférieure : f'_{-d}(t)=\liminf_{h \to 0, h>0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Dérivée à gauche supérieure : f'_{+g}(t)=\limsup_{h \to 0, h<0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Dérivée à gauche inférieure : :f'_{-g}(t)=\liminf_{h \to 0, h<0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Propriétés

Deux propriétés découlent trivialement de la définition des dérivées de Dini :

  • Si la dérivée à droite supérieure est égale à la dérivée à droite inférieure, alors f est dérivable à droite de x. De même à gauche.
  • Si les quatre dérivées de Dini sont égales, f est dérivable en x.

Le théorème suivant[1] a été démontré par Denjoy en 1915 pour les fonctions continues, puis étendu aux fonctions mesurables par Young en 1926 et aux fonctions quelconques par Saks en 1924 :

  • Soit f définie sur un intervalle I. Alors, I est la réunion d'un ensemble négligeable et des quatre parties suivantes :
I1 : en les points duquel f est dérivable au sens ordinaire.
I2 : en les points duquel f' + d = f' g (finie), f'_{+g}=+\infty et f'_{-d}=-\infty.
I3 : en les points duquel f' + g = f' d (finie), f'_{+d}=+\infty et f'_{-g}=-\infty.
I4 : en les points duquel f'_{+d} = f'_{+g}= +\infty et f'_{-d}=f'_{-g}=-\infty.

On en déduit par exemple qu'une fonction croissante est dérivable presque partout, puisque I2, I3 et I4 sont alors vides.

Articles connexes

Notes et Références

  1. A.M. Bruckner, J.L.Leonard, Derivatives, Amer. Math. Monthly, 73 (1966), 24-56

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