Dérivées de Dini

Dérivées de Dini
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Les dérivées de Dini sont quatre nombres introduits par le mathématicien Ulisse Dini pour généraliser la notion de dérivée d'une fonction lorsque celle-ci n'est pas dérivable.

Sommaire

Définition

Soit f une fonction d'un intervalle I ouvert de \mathbb R, à valeurs réelles, et soit x un point de I. Les quatre dérivées de Dini sont respectivement les limites inférieure et supérieure du taux d'accroissement à gauche et à droite de f :

Dérivée à droite supérieure : f'_{+d}(t)=\limsup_{h \to 0, h>0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Dérivée à droite inférieure : f'_{-d}(t)=\liminf_{h \to 0, h>0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Dérivée à gauche supérieure : f'_{+g}(t)=\limsup_{h \to 0, h<0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Dérivée à gauche inférieure : :f'_{-g}(t)=\liminf_{h \to 0, h<0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Propriétés

Deux propriétés découlent trivialement de la définition des dérivées de Dini :

  • Si la dérivée à droite supérieure est égale à la dérivée à droite inférieure, alors f est dérivable à droite de x. De même à gauche.
  • Si les quatre dérivées de Dini sont égales, f est dérivable en x.

Le théorème suivant[1] a été démontré par Denjoy en 1915 pour les fonctions continues, puis étendu aux fonctions mesurables par Young en 1926 et aux fonctions quelconques par Saks en 1924 :

  • Soit f définie sur un intervalle I. Alors, I est la réunion d'un ensemble négligeable et des quatre parties suivantes :
I1 : en les points duquel f est dérivable au sens ordinaire.
I2 : en les points duquel f' + d = f' − g (finie), f'_{+g}=+\infty et f'_{-d}=-\infty.
I3 : en les points duquel f' + g = f' − d (finie), f'_{+d}=+\infty et f'_{-g}=-\infty.
I4 : en les points duquel f'_{+d} = f'_{+g}= +\infty et f'_{-d}=f'_{-g}=-\infty.

On en déduit par exemple qu'une fonction croissante est dérivable presque partout, puisque I2, I3 et I4 sont alors vides.

Articles connexes

Notes et Références

  1. ↑ A.M. Bruckner, J.L.Leonard, Derivatives, Amer. Math. Monthly, 73 (1966), 24-56

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