Differentielle exacte

Differentielle exacte

Différentielle exacte

Une différentielle est dite exacte s'il existe une fonction dont elle dérive, c'est-à-dire s'il est possible de l'intégrer.

La différentielle ω définie sur un ouvert U est dite exacte s'il existe une fonction f différentiable sur U telle que : ω = df,.

Vue d'ensemble

En une dimension, une différentielle

dF = A(x)dx\,

est toujours exacte. En deux dimensions, d'après la réciproque du théorème de Poincaré, une différentielle

dF = A(x, y)dx + B(x, y)dy\,

est exacte sur un ouvert simplement connexe U du plan R2, si et seulement si elle est fermée, c'est-à-dire qu'il existe entre A et B la relation:

\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x} = \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y}

En trois dimensions, une différentielle

dF = A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz\,

est exacte sur un ouvert simplement connexe U de l'espace R3 s'il existe entre les fonctions A, B et C les relations:

\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x,z} \!\!\!= \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y,z}   ;   \left( \frac{\partial A}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial x} \right)_{y,z}   ;   \left( \frac{\partial B}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial y} \right)_{x,z}

Ces conditions, qui sont faciles à généraliser, reposent sur l'indépendance de l'ordre de différenciation dans le calcul des dérivés secondes (théorème de Schwarz). Donc pour qu'une différentielle dF, qui est une fonction à quatre variables, soit une différentielle exacte, il y a six conditions à satisfaire.

En somme, quand une différentielle dF est exacte:

  • la fonction F existe;
  • \int_i^f dF=F(f)-F(i)

En thermodynamique, quand dF est exacte, la fonction F est une fonction d'état du système. Les fonctions thermodynamiques U, S, H, A et G sont fonctions d'état. Généralement ni le travail, W ni la chaleur, Q ne sont des fonctions d'état.

References

  • Perrot, P. (1998). A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
  • Zill, D. (1993). A First Course in Differential Equations, 5th Ed. Boston: PWS-Kent Publishing Company.

Liens externes

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