Degré d'un polynôme

Degré d'un polynôme

Degré (mathématiques)

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De manière générale, un degré indique un incrément, une quantité définie qui s'ajoute. On parle des degrés d'une échelle ou d'un escalier pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d'une quantité donnée à chaque pas).

Sommaire

Polynômes et fractions

Degré d'un polynôme

À une indéterminée

Article détaillé : Construction de l'anneau des polynômes.

Soit A un anneau. L'anneau des polynômes à une indéterminée sur A est A[X], soit P un polynôme à coefficients dans A.

Le degré de P, noté deg(P) ou d^\circ(P) est défini par :

  • Si P = 0, \deg(P) = -\infty
  • Sinon, pour P = anXn + an − 1Xn − 1 + ... + a1X + a0, on définit : \deg(P)= \sup \{n \in \N, a_{n} \ne 0 \}

Par exemple, deg(3X5 − 2X4 + 8X − 2) = 5

En plusieurs indéterminées

Article détaillé : polynôme en plusieurs indéterminées.

Soient A un anneau et n \in \N. L'anneau des polynômes à n indéterminées sur A est A[X1,X2,...,Xn]

Le degré du polynôme nul est toujours -\infty.

Sinon on considère l'ensemble des « sommes des exposants des indéterminées » dans chaque terme. Le degré du polynôme est alors le plus grand élément de cet ensemble.

Par exemple : dans A[X,Y],deg(X2Y2 + 3X3 + 4Y) = 4

Degré d'une fraction rationnelle

Soit A un anneau commutatif, unitaire, intègre. Le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur A est A(X). Soit F \in A(X). Il existe N \in A[X] et D \in A[X] \setminus \{ 0 \} tel que F=\tfrac{N}{D}.

La grandeur \deg(A)-\deg(B) \in \mathbb Z \cup \{-\infty\} est indépendante du représentant \tfrac{N}{D} choisi pour F.

On définit alors deg(F) = deg(A) − deg(B), noté deg(F) ou d^\circ(F).

Propriétés du degré

  • \forall (P,Q) \in (A(X))^2, \deg(P+Q)\leq \sup \{\deg(P) , \deg(Q) \}
  • Si A est intègre, \forall (P,Q) \in (A(X))^2, \deg(PQ)=\deg(P) + \deg(Q)

Graphe et sommet

En théorie des graphes, le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes issues de ce sommet.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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