- Crible d’Ératosthène
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Crible d'Ératosthène
Le crible d'Ératosthène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné N. C'est l'ancêtre du crible d'Atkin qui est plus rapide mais plus complexe.
Sommaire
Algorithme
L'algorithme procède par élimination : il s'agit de supprimer d'une table tous les multiples des entiers de 2 à N.
À la fin du processus, tous les entiers qui n'ont pas été rayés sont les nombres premiers inférieurs à N.
L'animation ci-dessous illustre le crible d'Eratosthène pour N=120 :
Voici, étape par étape, le détail de la mise en œuvre de l'algorithme pour N=20.Étape 1. Écrivons la liste des nombres naturels compris entre 2 et 20
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Étape 2. On marque le nombre suivant non rayé de la liste, comme premier.2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Étape 3. On raye dans la liste, tous les multiples du nombre que l'on vient d'entourer.2 3 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 20
Étape 4. Si le carré du nombre suivant non rayé est inférieur à 20, alors on recommence à l'étape 2 sinon on déclare tous les entiers restants non rayés premiers.Puisque 3 élevé au carré est inférieur à 20, on retourne à l'étape 2 :
2 3 45 67 891011 1213 14151617 1819 20
À l'étape 4, l'entier suivant non rayé 5 a un carré strictement supérieur à 20, on considère comme premiers tous les entiers suivants non rayés.Résultat : Les entiers premiers compris entre 2 et 20 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Pour obtenir les entiers premiers inférieurs à N=99, on raye dans l'ordre tous les multiples des nombres premiers p=2, 3, 5, 7, … à partir de p2 jusqu'à N. On s'arrête lorsque l'entier premier p suivant vérifie p2 > N (Si un entier non premier est strictement supérieur à
alors il a au moins un diviseur inférieur à et aura donc déjà été rayé). On va donc aller jusqu'à p=9, parce que 102=100>99, et déclarer premiers tous les entiers non rayés suivants. On obtient la table suivante :012 3 45 67 891011 1213 14151617 1819 20212223 242526272829 3031 323334353637 38394041 4243 44454647 484950515253 545556575859 6061 626364656667 68697071 7273 747576777879 80818283 848586878889 9091929394959697 9899Exemple d'implémentation
Le crible d'Eratothène s'implémente facilement avec une fonction récursive, qu'il suffit d'appeler initialement avec le tableau des entiers de 2 à N.
Voici un exemple de code en bash :
erat() if (($1**2 > ${!#})); then echo $@; else a=$1; b=""; while shift; (($#)); do (($1%$a)) && b+=" "$1; done; echo $a $(erat $b); fi erat {2..1000}
Notes et références
Κόσκινον Ερατοσθένους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.
Liens internes
Liens externes
- Animation interactive (JavaScript)
- Crible d'Ératosthène (Java)
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