Crible de sundaram

Crible de sundaram

Crible de Sundaram

Le crible de Sundaram permet de lister les entiers naturels impairs non premiers grâce à des suites arithmétiques placées en colonnes. Il est basé sur le fait qu'en déterminant l'ensemble des nombres impairs composés, on peut en déduire l'ensemble des nombres premiers. La colonne numéro n a pour premier terme (2n + 1)² et pour raison r = 4n + 2. Par conséquent, un nombre impair > 1, absent de ce tableau, sera premier. En effet, considérons deux nombres impairs quelconques :

I_n = 2 \cdot n + 1

I_p=2 \cdot p + 1

Alors on peut écrire que : I_p = 2 \cdot p + 1 = 2 \cdot n + 1 + 2 \cdot k

Alors le produit vaut : I_n \cdot I_p = (2n+1) \cdot (2p+1) = (2n+1)^2 + k \cdot (4n+2)

Ainsi, en faisant varier n et k on obtient l'ensemble des produits de deux nombres impairs que l'on reproduit dans ce tableau.

9
15 25
21 35 49
27 45 63 81
33 55 77 99 121
39 65 91 117 143 169
45 75 105 135 165 195 225
51 85 119 153 187 221 255 289
57 95 133 171 209 247 285 323 361
63 105 147 189 231 273 315 357 399 441
69 115 161 207 253 299 345 391 437 483 529
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Sundaram était un mathématicien indien. Le crible qu'il publia en 1934 était un peu différent du modèle ci-dessus. Il contenait les valeurs n telles que 2n + 1 ne soit pas premier. Le tableau de cette page offre directement les valeurs 2n + 1.

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