Champ De Vecteurs Hamiltonien

Champ de vecteurs hamiltonien

En géométrie différentielle et plus précisément en géométrie symplectique, dans l'étude des variétés symplectiques et des variétés de Poisson, un champ de vecteurs hamiltonien est un champ de vecteurs associé à une fonction réelle différentiable appelée hamiltonien de manière semblable au champ de vecteurs gradient en géométrie riemannienne. Cependant, une des différences fondamentales est que le hamiltonien est constant le long de ses courbes intégrales.

Le nom vient du mathématicien et physicien William Rowan Hamilton.

Définition

Dans une variété symplectique (M, $ω$ ), la 2-forme $ω$ étant non dégénérée, elle établit une correspondance biunivoque entre champs de vecteurs et formes différentielles. En particulier, pour toute fonction différentiable

$H:M\to\mathbb{R}$

est associé un unique champ de vecteurs X_H, appelé champ de vecteurs hamiltonien, défini par l'identité :

- d'' H'' = ι(X H)ω

Certains ouvrages de géométrie symplectique utilisent d'autres conventions de signes. Le choix ici effectué est en cohérence avec la définition des outils de géométrie différentielle dans les articles de Wikipédia.

Utilisant les coordonnées canoniques $(q^1,\ldots ,q^n,p_1,\ldots,p_n)$ , la forme symplectique s'écrit :

$\omega=\sum_i dq^i \wedge dp_i$

et donc le champ vectoriel hamiltonien s'écrit :

$X_H = \left( \frac{\partial H}{\partial p_i}, - \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) = \Omega \cdot dH$

où Ω est la matrice symplectique canonique associée :

$\Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix}$ .

La courbe $γ(t) = (q (t), p (t))$ est donc une intégrale curviligne du champ vectoriel si, et seulement si, elle est solution des équations de Hamilton-Jacobi :

$\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i}$

$\dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}$ .

On remarque que l'énergie est constante le long de la courbe, i.e. $H (γ(t))$ est une constante, indépendante de t.

Crochets de Poisson

Le champ de vecteurs hamiltonien procure aux fonctions dérivables sur M la structure d'algèbre de Lie, que l'on peut écrire en utilisant la notation des crochets de Poisson :

$\{f,g\} = \omega(X_f,X_g)= X_g(f) = \mathcal{L}_{X_g} f$

où $\mathcal{L}_X$ est la dérivée de Lie selonX. La notation ci dessus n'est cependant pas acceptée par tous les auteurs.

Références

(en) McDuff et Salamon, Introduction à la topologie symplectique (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-198-50451-9.
(en) Abraham et Marsden, Fondements de la mécanique, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Champ de vecteurs hamiltonien ».

Catégories : Algèbre linéaire | Méthode mathématique de la physique | Géométrie symplectique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Champ De Vecteurs Hamiltonien de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Champ de vecteurs hamiltonien — En géométrie différentielle et plus précisément en géométrie symplectique, dans l étude des variétés symplectiques et des variétés de Poisson, un champ de vecteurs hamiltonien est un champ de vecteurs associé à une fonction réelle différentiable… … Wikipédia en Français
Champ Vectoriel Hamiltonien — Champ de vecteurs hamiltonien En géométrie différentielle et plus précisément en géométrie symplectique, dans l étude des variétés symplectiques et des variétés de Poisson, un champ de vecteurs hamiltonien est un champ de vecteurs associé à une… … Wikipédia en Français
Champ vectoriel hamiltonien — Champ de vecteurs hamiltonien En géométrie différentielle et plus précisément en géométrie symplectique, dans l étude des variétés symplectiques et des variétés de Poisson, un champ de vecteurs hamiltonien est un champ de vecteurs associé à une… … Wikipédia en Français
Hamiltonien — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. L adjectif hamiltonien s applique à de nombreuses notions scientifiques : En mathématiques champ de vecteurs hamiltonien graphe hamiltonien : un … Wikipédia en Français
Champ D'induction Magnétique — Champ magnétique Vue d artiste de la magnétosphère terrestre … Wikipédia en Français
Champ Magnetique — Champ magnétique Vue d artiste de la magnétosphère terrestre … Wikipédia en Français
Champ Magnétique — Vue d artiste de la magnétosphère terrestre … Wikipédia en Français
Champ d'induction magnétique — Champ magnétique Vue d artiste de la magnétosphère terrestre … Wikipédia en Français
Champ magnetique — Champ magnétique Vue d artiste de la magnétosphère terrestre … Wikipédia en Français
Champ magnétique — Vue d artiste de la magnétosphère terrestre … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Champ De Vecteurs Hamiltonien