Équation de Schrödinger semi-linéaire

Équation de Schrödinger semi-linéaire

L'équation de Schrödinger semi-linéaire est une équation comportant un terme linéaire de type équation de Schrödinger et un terme de réaction non-linéaire :

i {\partial u(t,x)\over\partial t} + \Delta u(t,x) + f(t, x, u(t,x)) = 0.

Sommaire

Modélisation

L'équation de Schrödinger semi-linéaire intervient dans de nombreux domaines de la physique : propagation d'ondes, optique non-linéaire, modèles de lasers, modèles de plasma, etc.

Équation de Schrödinger cubique focalisante

i {\partial u(t,x)\over\partial t} + \Delta u(t,x) + |u(t,x)|^2 u(t,x) = 0.

L'Hamiltonien associé est :

H(u) = \int \left( {1\over2} |\overrightarrow{\nabla} u(t,x)|^2 - {1\over4} |u(t,x)|^4 \right) dx.

Équation de Schrödinger cubique défocalisante

i {\partial u(t,x)\over\partial t} + \Delta u(t,x) - |u(t,x)|^2 u(t,x) = 0.

L'Hamiltonien associé est :

H(u) = \int \left( {1\over2} |\overrightarrow{\nabla} u(t,x)|^2 + {1\over4} |u(t,x)|^4 \right) dx.

Solitons

Les solitons pour l'équation de Schrödinger sont des solutions particulières du type : u(t,x) = Q(x)eiωt.

En dimension 1, l'équation de Schrödinger cubique est intégrable et peut être résolue avec une méthode de diffusion inverse. En particulier, l'interaction de deux solitons est explicite.

Bibliographie


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation de Schrödinger semi-linéaire de Wikipédia en français (auteurs)

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