Équation de Mathieu
- Équation de Mathieu
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En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au XIXe siècle.
Il s'agit de l' équation différentielle linéaire du second ordre ci-contre :
,- où
![\omega^2(t)= \omega_o^2[1 - \epsilon_o cos(t)]](5/fd59809f849e96a9dd068e08ec674ed4.png)
, donc périodique
Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique.
Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu.
- Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable.
- Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet)
- Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques): on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin.
- le pendule paramétrique (le botafumero par exemple) relève aussi de cette équation.
- Les cristaux photoniques ont réactualisé ces études.
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2010.
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