- Théorème de Kurschak
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En arithmétique, le théorème de Kurschak énonce que les tranches de la série harmonique ne sont jamais entières, sauf si on ne considère que le premier terme.
Sommaire
Énoncé
Théorème — Si m et n sont deux entiers naturels, alors
si, et seulement si, m = n = 1[1].Démonstration
Il est clair que pour m = n = 1, on obtient une valeur entière. Supposons maintenant
. Si m = n, le problème est résolu puisque 
n'est pas entier. Supposons donc m < n et considérons 
(où v2 désigne la valuation 2-adique). On a 
, car il y a au moins un entier pair entre m et n. En fait, le maximum α est atteint en un unique nombre. En effet, s'il existait k = 2α(2r + 1) < k' = 2α(2s + 1) compris entre m et n, alors 2α(2r + 2) = = 2α + 1(r + 1) est compris entre m et n et sa valuation 2-adique est supérieure à α, ce qui contredit la définition de α.On en conclut que
s'écrit sous la forme 
, où A et B sont impairs, donc n'est pas entière.Historique
Une version affaiblie de ce résultat, correspondant au cas où m = 1, a été prouvée en 1915 par Taeisinger. Kurschak a ensuite traité le cas général en 1918[1].
Notes et références
- Exercices de mathématiques, oraux x-ens : algèbre 1, Cassini, 2007 (ISBN 978-2-84225-132-1), p. 138
Catégorie :- Théorème de mathématiques
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