Bien conditionné

Bien conditionné

Conditionnement (analyse numérique)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Conditionnement.

En général, les données d'un problème numérique dépendent de mesures expérimentales et sont donc entachées d'erreur.

Le conditionnement mesure la dépendance de la solution d'un problème numérique par rapport aux données du problèmes, ceci afin de contrôler la validité d'une solution calculée par rapport à ces données. Il s'agit le plus souvent d'une quantité numérique, parfois appelée nombre de conditionnement.

De façon plus générale, on peut dire le nombre de conditionnement associé à un problème est une mesure de la difficulté de calcul numérique du problème. Un problème possédant un nombre de conditionnement bas est dit bien conditionné et un problème possédant un nombre de conditionnement élevé est dit mal conditionné.

Conditionnement d'un système linéaire

Pour un système linéaire "Ax = b", où les données sont la matrice A et le vecteur second membre b, le conditionnement donne une borne de l'erreur relative commise sur la solution x lorsque les données A,b sont perturbées. Il peut s'avérer que cette borne soit très grande, de sorte que l'erreur qui pourrait en découler rende la solution numérique inexploitable.


S'étant donné une norme vectorielle, notant ||\cdot|| la norme matricielle subordonnée correspondante, le nombre de conditionnement d'une matrice inversible est défini par la formule :

\kappa(A) = \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert.

Alors, le calcul effectif de l'inversion du système Ax = b, où la matrice A est connue avec précision et où la valeur second membre b est entachée d'une erreur Δb produira une erreur relative théorique (dans la mesure où on suppose que les calculs sont faits avec une précision infinie) sur la solution x majorée par

\kappa \frac{\Vert \Delta b\Vert}{\Vert b\Vert}.

Un exemple de matrice mal conditionnée

Soit la matrice

A=\begin{pmatrix} 7 &1 & 11& 10\\ 2 & 6 & 5 & 2\\ 8 & 11 & 3 & 8\\ 6 & 9& 3&6\\ \end{pmatrix},

et le vecteur

b=\begin{pmatrix} 29\\ 15\\ 30\\ 24\\ \end{pmatrix}.

La résolution du système Ax = b donne

x=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}.


Si on substitue au second membre b le second membre perturbé

b'=b+\begin{pmatrix} 0.1\\ -0.1\\ 0.1\\ -0.1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 29.1\\ 14.9\\ 30.1\\ 23.9\\ \end{pmatrix},

la solution x' correspondante sera

x'=A^{-1}b'\approx \begin{pmatrix} 6.222\\ 0.133\\ 1.633\\ -3.256\\ \end{pmatrix}.

Les erreurs relatives de b et x sont respectivement de 0.004 et 3.4108 ce qui représente une multiplication par environ 860 de l'erreur relative. Ce nombre est du même ordre que le conditionnement de la matrice A qui est de 1425.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Conditionnement (analyse num%C3%A9rique) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Bien conditionné de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • conditionné — conditionné, ée [ kɔ̃disjɔne ] adj. • 1394; de conditionner 1 ♦ Vieilli Qui est dans une condition, un état. « Des enfants bien conditionnés et de corps et d esprit » (Molière). 2 ♦ (1869) Soumis à des conditions. Expérience conditionnée. Psychol …   Encyclopédie Universelle

  • conditionné — conditionné, ée (kon di sio né, née ; en poésie, de cinq syllabes) part. passé. 1°   Qui est en certaine condition. Bien conditionné, bien fait, en bon état. Un ouvrage bien conditionné. En sens inverse, mal conditionné. 2°   Fig. et absolument,… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • conditionné — Conditionné, [conditionn]ée. part. pass. Il a les significations de son verbe. Marchandises bien conditionnées, mal conditionnées. des vins, des draps bien conditionnez. livres bien conditionnez. marché conditionné. don, traitté, contract… …   Dictionnaire de l'Académie française

  • conditionne — CONDITIONNE, ÉE. adj. Qui a les conditions requises. Marchandises bien conditionnées, mal conditionnées. Des draps bien conditionnés. Livres bien conditionnés. [b]f♛/b] On dit figurément et familiérement, d Un homme fort ivre, Il est… …   Dictionnaire de l'Académie Française 1798

  • être conditionné — ● être conditionné verbe passif Offrir par la disposition de ses éléments les avantages qu on peut en attendre : Placards bien conditionnés. Être soumis à telle influence extérieure qui oriente et détermine le comportement, les goûts, l opinion,… …   Encyclopédie Universelle

  • Air conditionné — Climatisation La climatisation est la technique qui consiste à modifier, contrôler et réguler les conditions climatiques (température, humidité, niveau de poussières, etc.) d’un local pour des raisons de confort (bureaux, maisons individuelles)… …   Wikipédia en Français

  • Le Meilleur des mondes — Pour les articles homonymes, voir Le Meilleur des mondes (homonymie) et Brave New World. Le Meilleur des mondes Auteur Aldous Huxley Genre Roman Version origina …   Wikipédia en Français

  • conditionner — (kon di sio né) v. a. 1°   Terme d arts. Faire, fabriquer une chose, de manière qu elle soit en bonnes conditions. Bien conditionner un drap. 2°   Terme de pratique. Conditionner un acte, le charger de clauses. 3°   Terme de commerce.… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Le Meilleur Des Mondes — Pour les articles homonymes, voir Le meilleur des mondes (homonymie). Le Meilleur des mondes Auteur Aldous Huxley Genre Roman …   Wikipédia en Français

  • Le Meilleur des Mondes — Pour les articles homonymes, voir Le meilleur des mondes (homonymie). Le Meilleur des mondes Auteur Aldous Huxley Genre Roman …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”