Nombre de Perrin
- Nombre de Perrin
-
En mathématiques, un nombre de Perrin est un terme de la suite de Perrin, cas particulier de la suite de Padovan, définie par récurrence de la manière suivante :
- U0 = 3;U1 = 0;U2 = 2
- et pour tout
, Un + 3 = Un + Un + 1
Les 20 premiers termes de la suite sont :
| u0 |
u1 |
u2 |
u3 |
u4 |
u5 |
u6 |
u7 |
u8 |
u9 |
u10 |
u11 |
u12 |
u13 |
u14 |
u15 |
u16 |
u17 |
u18 |
u19 |
| 3 |
0 |
2 |
3 |
2 |
5 |
5 |
7 |
10 |
12 |
17 |
22 |
29 |
39 |
51 |
68 |
90 |
119 |
158 |
209 |
Propriétés
- Pour la réciproque, Perrin avait conjecturé que n est premier si et seulement si n divise Un.
Cependant, le premier contre exemple, autre que 1 a été trouvé en 1980 : il s'agit de 271441. En effet, 271441 divise U271441, et 271441 = 5212. U271441 a 33150 chiffres. Un tel nombre est appelé nombre pseudo-premier de Perrin, Jon Grantham a prouvé qu'il y en avait une infinité.
Implémentation informatique
Voici une implémentation possible de la suite en ocaml :
let perrin n =
let rec aux u1 u2 u3 = function 0 -> u3 | n -> aux u2 u3 (u1+u2) (n-1) in
match n with
| 1 -> 0
| 2 -> 2
| 3 -> 3
| n -> aux 0 2 3 (n-3)
Résultat (utilise Ocaml Batteries), en filtrant les n qui ne divisent pas Un :
# List.of_enum **> filter (fun (n, un) -> un mod n = 0) **> map (fun n -> (n, perrin n)) (2--50);;
- : (int * int) list =
[(2, 2); (3, 3); (5, 5); (7, 7); (11, 22); (13, 39); (17, 119); (19, 209); (23, 644); (29, 3480); (31, 6107); (37, 33004); (41, 101639); (43, 178364); (47, 549289)]
Liens externes
Notes et références
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Nombre de Perrin de Wikipédia en français (auteurs)
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