Basofactorielle

Basofactorielle: La basofactorielle d'un nombre réel $a$ en base $q$ se note $a! q$ . C'est le produit de tous les réels strictement positifs espacés de $q$ unités compris entre $1$ et le plus grand multiple de $q$ inférieur à $a - 1$ , qui sont ensuite multipliés par $a$ , soit :

Définition

Cas où $a-1\equiv 0 \pmod{q}$

$\forall a\in [1;+\infty[,\forall q\in \mathbb{R}_+^*,a-1 \equiv 0 \pmod{q}$
$a !_q=1(1+q)(1+2q)(1+3q)\times\cdots\times (a-q)\times a$
On peut aussi exprimer la fonction basofactorielle ainsi :
$a!_q=\displaystyle\prod_{i=0}^{\frac{a-1}{q}}(1+iq)$

Explication

Par hypothèse, on sait que $a-1\equiv 0 \pmod{q}$ i.e. il existe un entier $k$ tel que $a-1=kq\Longleftrightarrow a=1+kq$ autrement dit $k=\dfrac{a-1}{q}$ .

$a!_q=1(1+q)(1+2q)(1+3q)\times\cdots\times (a-q)\times a$ $=(1+0q)(1+1q)(1+2q)(1+3q)\times\cdots\times\left(1+\left(\dfrac{a-1}{q}-1\right)q\right)\left(1+\left(\dfrac{a-1}{q}\right)q\right)$

$a!_q=\prod_{j=0}^{j=\frac{a-1}{q}}(1+jq)$

Bases remarquables :

Pour $q = 0,1$ et $a=\dfrac{k}{10}$ avec $k\in\mathbb{N}^*$ , on peut établir une égalité liant basofactorielle et factorielle commune :

$a!_{0,1} = (10a)! \times \dfrac{10^{9 - 10a}}{9!}$
Ou plus généralement pour $q = 10 - n$ et $a=\dfrac{k}{10^n}$ avec $(k;n)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}$ on a :
$a!_{10^{-n}} = (10^na)! \times \dfrac{10^{10^n-1 - 10^na}}{9!}$

La fonction factorielle commune n'est en réalité qu'une fonction basofactorielle de base $q = 1$ .

Généralisation

Lorsque $a - 1$ n'est pas divisible par $q$ , la précédente formule ne suffit plus pour les cas comme
$2,6!_{0,7}=1\times 1,7\times 2,4\times 2,6$

On définit donc la fonction basofactorielle en base $q$ en utilisant la fonction partie entière inférieure $x\longmapsto \lfloor x\rfloor$ par :
$a!_q=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{\left\lfloor\frac{a-1}{q}\right\rfloor}(1+kq)\right)\times a$

Application de la formule

Reprenons l'exemple $2,6! 0,7$ .

$2,6!_{0,7}=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{\left\lfloor\frac{1,6}{0,7}\right\rfloor}(1+0,7k)\right)\times 2,6=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{2}(1+0,7k)\right)\times 2,6$ $2,6!_{0,7}=1(1+0,7)(1+1,4)\times 2,6=1\times 1,7\times 2,4\times 2,6$

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Catégorie :
Fonction remarquable

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Basofactorielle de Wikipédia en français (auteurs)

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