Énergie électrostatique

Énergie électrostatique

Énergie potentielle électrostatique

L'énergie potentielle électrostatique (ou simplement énergie électrostatique) d'une charge électrique q\, placée en un point P\, baignant dans un potentiel électrique V\, est définie comme le travail à fournir pour transporter cette charge depuis l'infini jusqu'à la position P\,. Elle vaut donc

E_p=qV(P) \,

Si on se place dans le cas ou les sources générant le potentiel électrique V sont distribuées dans une région bornée de l'espace ce qui permet d'attribuer une valeur nulle du potentiel à l'infini.

Cas d'une distribution

L'énergie potentielle électrique d'une distribution \rho(P)\, de charges électriques est alors définie comme le travail nécessaire pour transporter l'ensemble des charges qui la composent depuis l'infini jusqu'à leur position finale. Sommant toutes les contributions on trouve alors

E_p={1\over2}\iiint\frac{\rho(x_1)\rho(x_2)}{4\pi\epsilon_0\|x_2-x_1\|}{\rm d}^3x_1{\rm d}^3x_2 \,

où \epsilon_0\, est la constante diélectrique du vide et les sommations étant effectuée sur l'étendue \mathcal{D}\, de la répartition des charges.

On peut montrer qu'on peut aussi obtenir cette dernière en considérant le champ électrique \mathcal{E}\, créé par l'ensemble de ces charges

E_p={\epsilon_0\over2}\iiint\mathcal{E}.\mathcal{E}{\rm d}^3x \,

l'intégration se faisant cette fois-ci sur tout l'espace.

Plusieurs distributions, énergie d'interaction

Dans le cas de deux distributions d'étendue limitée \mathcal{D}_1\, et \mathcal{D}_2\, caractérisées par des distributions de charge \rho_1\, et \rho_2\, alors on peut distinguer 3 contributions dans l'énergie électrique totale

E_{totale}=E_p^1+E_p^2+E_{int} \,

où E_p^i\, obtenues par la même formule écrite précédemment sont renommées énergies de self-interaction et E_{int}\, est appelée l'énergie potentielle d'interaction et est donnée par

E_{int}={1\over 4\pi\epsilon_0}\iiint_{x_1\in\mathcal{D}_1;x_2\in\mathcal{D}_2}\frac{\rho_1(x_1)\rho_2(x_2)}{\|x_2-x_1\|}{\rm d}^3x_1{\rm d}^3x_2=\epsilon_0\iiint\mathcal{E}_1.\mathcal{E}_2{\rm d}^3x \,

avec \mathcal{E}_{1,2}\, les champs électriques individuels créés par chaque distribution.

Cette formule est modifiée lorsqu'on considère un champ magnétique et plus généralement lorsqu'on quitte le cadre de l'électrostatique (voir l'article énergie électromagnétique).

Il faut noter enfin quand dans le cas où les deux distributions \mathcal{D}_1\, et \mathcal{D}_2\, sont localisées en deux points P_1\, et P_2\, et assorties de charges q_1\, et q_2\, alors les self-énergies sont divergentes mais l'énergie d'interaction, elle, est bien définie et on retrouve précisément

E_{int}={1\over 4\pi\epsilon_0}{q_1q_2\over\|P_1P_2\|}=q_1V_2(P_1)=q_2V_1(P_2) \,

Voir aussi

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