- Variable de contrôle
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Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle peut être utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.
Sommaire
Exposé du principe
On cherche à estimer le paramètre μ, et on dispose d'une estimation m non-biaisée de μ ; autrement dit,
![\mathbb{E}\left[m\right]=\mu](4/af40936d37cf7580bbcef8564deb79ab.png)
. On dispose d'une autre statistique t, telle que ![\mathbb{E}\left[t\right]=\tau](d/98d25df0994a5fe9d690951d205cf32e.png)
, et sa corrélation avec m, ρmt, est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante c donnée:On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de μ, quel que soit le choix de la constante c. En outre, on peut montrer que le choix
permet de minimiser la variance
de 
. Pour ce choix de c, la variance de l'estimateur vaut alors
;
Par construction, la variance de
sera inférieure à celle de l'estimateur initial m, d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation 
est importante, plus la réduction de la variance sera importante.Lorsque les écart-type σm, σt, et/ou la corrélation ρmt sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.
Exemple
On souhaite évaluer
dont la vraie valeur est ln(2) = 0,69315. Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de f(U), avec U la loi uniforme continue et f(x) = (1 + x) − 1, une estimation de Monte-Carlo est envisageable.
L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme
et vautOn introduit comme variable de contrôle T = 1 + U. Cette variable est uniforme, son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec f(U) est
.
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on peut continuer à évaluer exactement toutes les autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer tous les moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de n = 1500 réplications, on trouve σm = 0,14195, ρ = − 0,98430 et σt = 0,29002. La constante optimale vaut -0,48175. On trouve les résultats suivants :
Estimation Variance Monte Carlo basique 0,69631 0,02015 Monte Carlo – contrôle 0,69356 0,00063 Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à réduire très significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Control variate » (voir la liste des auteurs)
Bibliographie
- (en) M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953.
Références
- (en) Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 3e édition, 2000, ISBN 0-07-116537-1
- (en) S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. ISBN 9780521884419. en ligne
Liens internes
- Méthode de Monte-Carlo;
- Techniques de réduction de la variance:
- échantillonnage préférentiel (mieux connue sous le terme anglais importance sampling);
- variable antithétique;
- stratification;
- conditionnement.
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