Univers (mathématiques)

En théorie des probabilités, un univers, souvent noté Ω,U ou S, est l'ensemble de tous les résultats possibles qui peuvent être obtenus au cours d'une expérience aléatoire.

Définitions

À chaque élément ω de l'univers, c'est-à-dire à chacun des résultats possibles de l'expérience considérée, nous pouvons associer le sous-ensemble {ω} constitué de cet élément, appelé évènement élémentaire. De manière plus générale, toute partie de l'univers est appelée simplement un événement.

On parle également d'espace des évènements élémentaires ou d'espace des observables, ou encore d'espace échantillon.

Par exemple, si nous lançons une pièce, nous avons deux résultats possibles : pile ou face. l'expérience aléatoire considérée est alors : « 1 lancer de pièce ». Nous pouvons définir l'univers associé à cette expérience, qui regroupe tous les résultats possibles : Ω ≡ {pile, face}. Pour une expérience de lancer de dé, nous choisirions l'univers Ω ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

À n'importe quel univers discret (fini et/ou dénombrable), on peut associer une probabilité, qui est entièrement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur les évènements élémentaires (et lorsque l'univers n'est pas discret, on appelle évènement toute partie dont on peut définir la probabilité).

Ainsi, à chaque évènement est associable une probabilité de réalisation (par exemple, pour le lancer de dé, à chaque évènement de l'univers {1, 2, 3, 4, 5, 6} est associé une probabilité égale à 1/6).

Toute définition de probabilité commence par la recherche d'un univers de tous les évènements réalisables et par la définition précise de tous les évènements utiles à sa résolution.

La recherche de l'univers consiste à représenter de manière unique les résultats possibles de l'expérience par des objets mathématiques (nombres, p-listes, p-listes d'éléments distincts, parties d'un ensemble, permutations, suites, ...) pour former un ensemble.

Choix de l'univers

Pour certains types d'expériences, nous pouvons définir plusieurs univers différents. Par exemple, quand nous tirons une carte d'un jeu de 52 cartes, nous pouvons nous intéresser au rang de la carte dans le jeu et définir l'univers comme l'ensemble des entiers de 1 à 52 ; d'autre part, nous pouvons nous intéresser à la couleur de la carte obtenue et définir l'univers comme étant l'ensemble {pique, cœur, carreau, trèfle}. Pour avoir une description complète d'un résultat, nous serions amenés à préciser la couleur et le rang de la carte, et à définir dans ce cas l'univers comme le produit cartésien de ces deux ensembles : Ω ≡ {pique, cœur, carreau, trèfle} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as}.

Pour choisir l'univers, nous devons aussi tenir compte des probabilités qui entrent dans la définition de l'expérience aléatoire. Par exemple, il est possible de considérer un univers sur lequel il y a équiprobabilité, c'est-à-dire sur lequel la probabilité est uniforme (par exemple, pour le lancer de dé, si le dé est non truqué, il y a équiprobabilité pour chacun des évènements dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Voir aussi

• Probabilité
• Probabilité (mathématiques élémentaires)

• Portail des probabilités et des statistiques