Triangle de reuleaux

Triangle de Reuleaux

Le triangle de Reuleaux est une courbe de largeur constante, c'est-à-dire une courbe dont tous les diamètres ont même longueur. Elle tient son nom de l'ingénieur allemand Franz Reuleaux, qui fut au XIX^e siècle un pionnier du génie mécanique.

Sommaire

1 Construction
2 Caractéristiques
3 Utilisations
4 Le tétraèdre de Reuleaux
5 Notes et références
6 Source
7 Liens externes

Construction

Construction d'un triangle de Reuleaux

Pour construire le triangle de Reuleaux, on part d'un triangle équilatéral. Depuis chaque sommet pris tour à tour, on décrit un arc de cercle entre les deux autres sommets. Les trois arcs raccordés forment ce qu'on appele le « triangle de Reuleaux ».

Caractéristiques

Un théorème dû à Henri Léon Lebesgue et Wilhelm Blaschke (1885-1962) établit que cette courbe possède, parmi les courbes d'égale largeur, une surface minimale.

On peut généraliser la construction de Reuleaux aux polygones ayant un nombre de côtés impair : on obtient ainsi des polygones curvilignes de largeur constante, les polygones de Reuleaux.

Comme tous les diamètres ont même longueur, le triangle de Reuleaux – et en fait, tout polygone de Reuleaux – répond à la question suivante : « Quelle forme doit avoir une plaque d'égout pour ne pas tomber dans le regard de visite ? » La réponse la plus simple est le cercle, mais le triangle de Reuleaux convient également. La ville de San Francisco par exemple utilise également des triangles de Reuleaux.^[1].

Utilisations

un triangle de Reuleaux en rotation dans un carré

On associe le triangle de Reuleaux au compresseur rotatif du moteur Wankel. Le rotor de ce moteur est effectivement à la base un triangle de Reuleaux, dont les faces sont creusées pour augmenter la surface de la chambre de combustion.

Le tétraèdre de Reuleaux

Un tétraèdre de Reulaux

L'intersection de sphères de rayon commun s, et dont les centres sont au sommet d'un tétraèdre de côté s s'appelle tétraèdre de Reuleaux.

Contrairement à l'intuition, le tétraèdre de Reuleaux n'est pas de largeur constante : le diamètre de ce solide, c'est-à-dire la distance entre deux points situés au milieu de deux arêtes opposées, est supérieure à la distance séparant deux sommets, quoique de peu :

$\frac{d}{s} = \sqrt3 - {\sqrt{2} \over 2} \approx 1{,}0249$

Notes et références

↑ MAA Focus, vol.29, n°1, Janvier 2009, p.22

Source

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reuleaux triangle ».

Liens externes

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Catégories : Courbe | Construction géométrique

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